a: Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

Xét ΔADC có

M là trung điểm của AD

MK//DC

Do đó: K là trung điểm của AC
b: Xét ΔADC có

M,K lần lượt là trung điểm của AD,AC
=>MK là đường trung bình của ΔADC

=>\(MK=\frac12DC=AB\)

c: Ta có: \(AB=\frac{CD}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

Do đó: AB=DI=IC

Xét tứ giác ABCI có

AB//CI

AB=CI

Do đó: ABCI là hình bình hành

=>AC cắt BI tại trung điểm của mỗi đường

mà K là trung điểm của AC

nên K là trung điểm của BI

=>B,K,I thẳng hàng

 Ta có: hình thang ABCD => AB//CD

     => Góc ABD = góc BDE ( cặp góc so le trong) 

Xét tam giác IKB và tam giác EKD có:

  Góc BKI = góc DKE ( đối đỉnh)

  KB=KD ( K là trung điểm của BD) 

  Góc ABD = góc BDE ( cmt)

=> Tam giác IKB = tam giác EKD ( g-c-g)

=> IK=EK ( 2 cạnh tương ứng)

Hình đâu

A B C D M E F I K

a) Do \(AB//DC\Rightarrow AB//DM\) \(\Rightarrow\frac{AB}{DM}=\frac{AI}{IM}\)( Talet ) (1)

Tương tự ta có : \(\frac{AB}{CM}=\frac{BK}{KM}\) ( Talet ) (2)

Lại có : \(DM=CM\left(gt\right)\) nên từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{AI}{IM}=\frac{BK}{KM}\)

Xét \(\Delta ABM\) có \(\frac{AI}{IM}=\frac{BK}{KM}\) (cmt) , \(I\in AM,K\in BM\)

\(\Rightarrow IK//AB\) ( định lý Talet đảo ) 

b) Áp dụng định lý Talet lần lượt ta được :

+) \(EI//DM\Rightarrow\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}\) (3)

+) \(IK//MC\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AK}{AC}=\frac{IK}{MC}\)(4)

+) \(KF//MC\Rightarrow\frac{BK}{BM}=\frac{KF}{MC}\) (5)

Mà : \(DM=CM\left(gt\right)\)

Nên tuqd (3) (4) và (5) \(\Rightarrow EI=IK=KF\) (đpcm)

a ) Hướng giải : 

• Cần chứng minh tứ giác ABDM và tứ giác ABMC là hình bình hành.
• Suy ra KM // AD và IM // BC
• Áp dụng tính chất đường trung bình vào 2 tam giác ADC và DBC
• IK là đường trung bình của tam giác ABM
• IK // AB // DC

b ) Hướng giải ;

• Đầu tiên, cần chứng minh 4 điểm E, I, K, F thẳng hàng theo Tiên đề Ơ - clit
• Tiếp tục dùng tính chất đường trung bình vào các tam giác ADM, BMC
• Cuối cùng, EI = IK = KF  \(\left(=\frac{DM}{2}=\frac{MC}{2}\right)\)