a: AB⊥BD

AB//CD

Do đó: BD⊥CD

=>ΔBDC vuông tại D

Xét ΔGBA vuông tại B và ΔGDC vuông tại D có

\(\hat{BGA}=\hat{DGC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔGBA~ΔGDC

=>\(\frac{GB}{GD}=\frac{GA}{GC}\)

=>\(\frac{DF}{GD}=\frac{CE}{GC}\)

=>\(\frac{DF}{CE}=\frac{GD}{GC}\)

Xét ΔGDF vuông tại D và ΔGCE vuông tại C có

\(\frac{GD}{GC}=\frac{DF}{CE}\)

Do đó: ΔGDF~ΔGCE

b: Gọi H là giao điểm của GF và CE

ΔGDF~ΔGCE

=>\(\hat{GFD}=\hat{GEC}\)

=>\(\hat{HFC}=\hat{GFD}=\hat{HEG}\)

Xét ΔHFC và ΔHEG có

\(\hat{HFC}=\hat{HEG}\)

góc H chung

Do đó: ΔHFC~ΔHEG

=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HC}{HG}\)

=>\(\frac{HF}{HC}=\frac{HE}{HG}\)

Xét ΔHFE và ΔHCG có

\(\frac{HF}{HC}=\frac{HE}{HG}\)

góc FHE chung

Do đó: ΔHFE~ΔHCG

=>\(\hat{HFE}=\hat{HCG}=90^0\)

=>GF⊥FE

AE = CF (gt)

mà AE // CF (ABCD là hình chữ nhật)

=> AECF là hình bình hành

=> FA // CE

=> AFD = ECF (2 góc đồng vị)

mà ECF = CEB (2 góc so le trong, AB // CD)

=> AFD = CEB (1)

AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)

mà AE = CF (gt)

=> AB - AE = CD - CF

=> EB = DF (2)

Xét tam giác NEB và tam giác MFD có:

NEB = MFD (theo 1)

EB = FD (theo 2)

EBN = FDM (2 góc so le trong, AB // CD)

=> Tam giác NEB = Tam giác MFD (g.c.g)

=> BN = DM (2 cạnh tương ứng)

O là trung điểm của BD (3)

=> O là trung điểm của AC (ACBD là hình chữ nhật) (4)

=> O là trung điểm của EF (AECF là hình bình hành) (5)

AEI = ABD (2 góc so le trong, EI // BD)

CFK = CDB (2 góc so le trong, FK // BD)

mà ABD = CBD (2 góc so le trong, AB // CD)

=> AEI = CFK (6)

EI // BD (gt)

FK // DB (gt)

=> EI // FK (7)

Xét tam giác EAI và tam giác FCK có:

IEA = KFC (theo 6)

EA = FC (gt)

EAI = FCK (= 90⁰)

=> Tam giác EAI = Tam giác FCK (g.c.g)

=> EI = FK (2 cạnh tương ứng)

mà EI // FK (theo 7)

=> EIFK là hình bình hành

mà O là trung điểm của EF (theo 5)

=> O là trung điểm của IK (8)

Từ (3), (4), (5) và (8)

=> AC, EF, IK đồng quy tại O là trung điểm của BD

O là trung điểm của AC và BD

=> OA = OC = \(\frac{AC}{2}\)

OB = OD = \(\frac{BD}{2}\)

mà AC = BD (ABCD là hình chữ nhật)

=> OA = OD = OB = OC

=> Tam giác OAD cân tại O

mà AOD = 60⁰

=> Tam giác OAD đều

=> AD = OA = OD

mà AD = 1 cm

AD = BC (ABCD là hình chữ nhật)

=> OA = OD = OC = OB = BC = 1 cm

=> AC = 2OA = 2 . 1 = 2 cm

Xét tam giác BAC vuông tại B có:

\(AC^2=BA^2+BC^2\) (định lý Pytago)

\(AB^2=AC^2-BC^2\)

\(=2^2-1^2\)

\(=4-1\)

= 3

\(AB=\sqrt{3}\)

\(S_{ABCD}=AB\times BC=\sqrt{3}\times1=\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

@@ my god

a: Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: AE+EB=AB

CF+FD=CD

mà AE=CF và AB=CD

nên EB=FD

Xét ΔEBC vuông tại B và ΔFDA vuông tại D có

EB=FD

BC=DA

Do đó: ΔEBC=ΔFDA

=>\(\hat{BEC}=\hat{DFA}\)

Xét ΔEBN và ΔFDM có

\(\hat{EBN}=\hat{FDM}\)

EB=FD

\(\hat{BEN}=\hat{DFM}\)

Do đó: ΔEBN=ΔFDM

=>BN=DM

=>BN+NM=DM+MN

=>BM=DN

c: Ta có: \(\hat{AEI}=\hat{ABD}\) (hai góc đồng vị, EI//BD)

\(\hat{CFK}=\hat{CDB}\) (hai góc đồng vị, FK//BD)

mà \(\hat{ABD}=\hat{CDB}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{AEI}=\hat{CFK}\)

Xét ΔAEI vuông tại A và ΔCFK vuông tại C có

AE=CF

\(\hat{AEI}=\hat{CFK}\)

Do đó: ΔAEI=ΔCFK

=>AI=CK

Xét tứ giác AICK có

AI//CK

AI=CK

Do đó: AICK là hình bình hành

=>AC cắt IK tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,IK,BD,EF đồng quy tại trung điểm O của BD

d: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD

=>\(OA=OC=OB=OD=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔOAD có OA=OD và \(\hat{AOD}=60^0\)

nên ΔOAD đều

=>OA=OD=AD=1cm

a: Xét ΔOEA và ΔOBC có

\(\hat{OEA}=\hat{OBC}\) (hai góc so le trong, AE//BC)

\(\hat{EOA}=\hat{BOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOEA~ΔOBC

=>\(\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}\) (1)

Xét ΔOBF và ΔODA có

\(\hat{OBF}=\hat{ODA}\) (hai góc so le trong, BF//DA)

\(\hat{BOF}=\hat{DOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOBF~ΔODA

=>\(\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}\) (2)

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\hat{OAB}=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OA}\)

Xét ΔOEF và ΔOBA có

\(\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OA}\)

\(\hat{EOF}=\hat{BOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOEF~ΔOBA

=>\(\hat{OEF}=\hat{OBA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên FE//AB

mà AB//CD

nên FE//CD

giups mình với nhé