a: Xét ΔDAC và ΔCBD có

DA=BC

AC=BD

DC chung

Do đó: ΔDAC=ΔCBD

=>\(\hat{DAC}=\hat{CBD}\)

=>\(\hat{DAC}=90^0\)

=>AD⊥ AC

b: ABCD là hình thang cân

=>AD=BC

mà AB=BC

nên AD=AB=BC

Ta có: AD=AB

=>ΔABD cân tại A

=>\(\hat{ABD}=\hat{ADB}\)

mà \(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong, AB//DC)

nên \(\hat{ADB}=\hat{CDB}\)

=>DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADC}=2\cdot\hat{BDC}\)

Ta có: BA=BC

=>ΔBAC cân tại B

=>\(\hat{BAC}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BAC}=\hat{ACD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{BCA}=\hat{DCA}\)

=>CA là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{BCD}=2\cdot\hat{ACD}\)

ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{BCD}\)

ΔBDC vuông tại B

=>\(\hat{BDC}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac12\cdot\hat{BCD}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(1,5\cdot\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}=60^0\)

AB//CD

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{BAD}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{BAD}=120^0\)

c: Kẻ OK⊥AD tại K; OE⊥DC tại E; OH⊥BC tại H

=>OK,OE,OH lần lượt là khoảng cách từ O xuống AD,DC,BC

Xét ΔDKO vuông tại K và ΔDEO vuông tại E có

DO chung

\(\hat{KDO}=\hat{EDO}\)

Do đó: ΔDKO=ΔDEO

=>OK=OE

Xét ΔCEO vuông tại E và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{ECO}=\hat{HCO}\)

Do đó: ΔCEO=ΔCHO

=>OE=OH

=>OE=OH=OK

=>O cách đều hai cạnh bên và đáy lớn của hình thang cân ABCD

Bài 2:Bổ sung đề: \(\hat{CBA}=60^0\)

a: ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{CBA}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{DAB}=60^0\)

CD//BA

=>\(\hat{DCB}+\hat{CBA}=180^0\)

=>\(\hat{DCB}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{DCB}=\hat{CDA}\)

=>\(\hat{CDA}=120^0\)

b: Sửa đề: AC là phân giác của góc DAB

ΔCBA vuông tại C

=>\(\hat{CBA}+\hat{CAB}=90^0\)

=>\(\hat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)

=>\(\hat{CAB}=\frac12\cdot\hat{DAB}\)

=>AC là phân giác của góc DAB

c: Kẻ CH⊥AB tại H

TA có: DC//AB

=>\(\hat{DCA}=\hat{CAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAB}=\hat{DAC}\) (AC là phân giác của góc DAB)

nên \(\hat{DCA}=\hat{DAC}\)

=>DC=DA

mà DA=CB

nên CB=CD=DA=a

Xét ΔCBA vuông tại C có sin CAB=\(\frac{CB}{AB}\)

=>\(\frac{a}{AB}=\sin30=\frac12\)

=>AB=2a

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH\cdot AB=CB\cdot CA\)

=>\(CH\cdot2a=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3\)

=>\(CH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(CD+BA\right)\cdot CH\)

\(=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\)

Bài 3: 

Xét ΔCBD có CD=CB

nên ΔCBD cân tại C

Suy ra: \(\widehat{CDB}=\widehat{CBD}\)

mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{DBC}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên AD//BC

hay ADCB là hình thang