a: Kẻ AH⊥DC tại H và BK⊥DC tại K

=>AH,BK là các đường cao của hình thang ABCD
Xét hình thang ABCD có AH là đường cao

nên \(S_{ABCD}=\frac12\cdot AH\cdot\left(AB+CD\right)\left(1\right)\)

Xét hình thang ABCD có BK là đường cao

nên \(S_{ABCD}=\frac12\cdot BK\cdot\left(AB+CD\right)\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra AH=BK(3)

Xét ΔADC có AH là đường cao

nên \(S_{ADC}=\frac12\cdot AH\cdot DC\left(4\right)\)

Xét ΔBDC có BK là đường cao

nên \(S_{BDC}=\frac12\cdot BK\cdot DC\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(S_{ADC}=S_{BDC}\)

=>\(S_{ADO}+S_{DOC}=S_{BOC}+S_{DOC}\)

=>\(S_{OAD}=S_{OBC}\)

alodgdhgjkhukljhkljyutfruftyhf

A B C a O E F D

a,  xét tam giác ABD có : EO // AB (Gt)

=> EO/AB = DO/DB (hệ quả)                   (1)

xét tam giác ABC có : OF // AB (gt)

=> OF/AB = OC/CA (hệ quả)                          (2)

xét tam giác ODC có : AB // DC (gt)

=> DO/DB = OC/CA     (hệ quả)                             (3)

(1)(2)(3) => OE = OF 

b,  xét tam giác ABD  có EO // AB (gt)

=> EO/AB = DE/AD (hệ quả)                            (4)

xét tam giác ACD có : EO // DC 

=> EO/DC = EA/AD (hệ quả)                                (5)

(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + EA/AD

=> EO(1/AB + 1/BC) = AD/AD = 1                                 (*)

 xét tam giác ACB có : FO // AB 

=> OF/AB = FC/BC (hệ quả)                           (6)

xét tam giác BDC có : OF // DC 

=> OF/DC = BF/BC (hệ quả)                                 (7)

(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC

=> OF(1/AB + 1/DC) = BC/BC = 1            (**)

(*)(**) => OF(1/AB + 1/CD) + OE(1/AB + 1/DC) = 2

=> (OF + OE)(1/AB + 1/DC) = 2

có OF + OE = EF

=> 1/AB + 1/DC = 2/EF

??????????????????????

A B C D M E F K H S I J

a) Bằng tính chất của hình bình hành và hệ quả ĐL Thales ta có: 

\(\frac{KM}{KH}=\frac{BF}{BC}=\frac{MF}{DC}=\frac{MF}{EF}\). Suy ra KF // EH (Theo ĐL Thales đảo) (đpcm).

b) Gọi giao điểm của EK và HF là S. Ta đi chứng minh B,D,S thẳng hàng. Thật vậy:

Gọi MS cắt EH và KF lần lượt ở I và J.

Theo bổ đề hình thang (cho hình thang KEHF) thì I là trung điểm EH và J là trung điểm KF

Do các tứ giác BKMF và DEMH là hình bình hành nên BD đi qua trung điểm của EH và KF 

Từ đó suy ra: 2 đường thẳng BD và MS trùng nhau hay 3 điểm B,D,S thẳng hàng => ĐPCM.

c) Dễ thấy: S_KEF = S_KHF (Chung đáy KF, cùng chiều cao vì KF//EH) => S_KME = S_FMH 

Mà S_MKAE = 2.S_KME; S_MHCF = 2.S_FMH nên S_MKAE = S_MHCF (đpcm).