A B N C D M
a) Gọi tia phân giác góc C là CM và N là trung điểm của BC.
Do MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên AB // MN // DC.
Suy ra \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\).
Do MC là tia phân giác góc C nên \(\widehat{MND}=\widehat{NCM}\).
Suy ra \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\).
Vậy tam giác NMC cân tại N hay MN = NC.
mà N là trung điểm của BC nên BN = NC.
Suy ra BN = MN = NC. Vậy tam giác MBC cân tại M.
b) Theo tính chất của đường trung bình của tam giác 2MN = AB + DC.
Mà BC = BN + NC = 2NC = 2MN.
Suy ra BC = AB + CD.

A B D C K M

gọi giao của AM và CD là K 
ta chứng minh tam giac ADK cân tại D 
dễ dàng chứng minh tam giác ABM= tam giác KCM 
(do AM=MK(gt), gócAMB=gócCMK(đối đỉnh), góc ABM=góc MCK(do AB//CD)) 
từ đó suy ra AM=Mk 
mà DM là phân giác nên tam giác ADK cân tại D 
từ đó góc DAM=DKM=MAB 
nen AM là phân giác góc A

a: Xét tứ giác EBCI có EI//BC

nên EBCI là hình thang

Xét tứ giác BIFC có IF//BC

nên BIFC là hình thang

Xét tứ giác BEFC có EF//BC

nên BEFC là hình thang

b: EI//BC

=>\(\hat{EIB}=\hat{IBC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{EBI}=\hat{IBC}\) (BI là phân giác của góc EBC)

nên \(\hat{EIB}=\hat{EBI}\)

=>ΔEBI cân tại E

Vì $ME\parallel BC$ nên:

$\widehat{BME}=\widehat{MBC}$

Mà $BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên:

$\widehat{MBC}=\widehat{ABM}$

Lại có $E\in AB$ nên:

$\widehat{EBM}=\widehat{ABM}$

Suy ra:

$\widehat{BME}=\widehat{EBM}$

Do đó:

$BE=ME$

Vậy $\triangle BME$ cân tại $E$.

Tương tự, vì $MF\parallel BC$ nên:

$\widehat{CMF}=\widehat{MCB}$

Mà $CM$ là tia phân giác của $\widehat{BCD}$ nên:

$\widehat{MCB}=\widehat{MCD}$

Lại có $F\in CD$ nên:

$\widehat{MFC}=\widehat{MCD}$

Suy ra:

$\widehat{CMF}=\widehat{MFC}$

Do đó:

$MF=CF$

Vậy $\triangle MFC$ cân tại $F$.

Vì $E,M,F$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa $E,F$ nên:

$EF=EM+MF$

Theo câu a:

$EM=BE$

$MF=CF$

Suy ra: $EF=BE+CF$

Vậy điều phải chứng minh.