a) ABCD là hình thang nên AB//CD

Các vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là các vectơ có hướng từ trái qua phải nên đó là: \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {MC} \)

b) \(\overrightarrow {DM} \)có hướng từ trái sang phải nên các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {DM} \)là \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CD} \)

a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔBAC

=>EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(1)

Xét ΔDAC có

N,M lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>NM là đường trung bình của ΔDAC
=>NM//AC và \(NM=\frac{AC}{2}\)

=>\(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{NM};\overrightarrow{EF};\overrightarrow{AC}\) là các vecto cùng phương

b: EF//AC

NM//AC

Do đó: EF//NM

\(EF=\frac{AC}{2}\)

\(NM=\frac{AC}{2}\)

Do đó: EF=NM

Xét tứ giác EFMN có

EF//MN

EF=MN

Do đó: EFMN là hình bình hành

xét tứ giác AECF: có AE = FC và AE//FC => AECF là hình bình hành => AF//CE

xét △DNC: có F là trung điểm của DC và FM//CN (đường tb) => M là trung điểm của DN => vtDM = vtMN (1)

xét △BMA: có E là trung điểm của AB và NE//AM ( đường tb) => N là trung điểm của MB => BM=MN (2)

từ (1) và (2) suy ra : DM=MN=NB => vtDM = vtMN = vtNB ( cùng hướng, cùng độ lớn)

A B C D E M N F

Dễ thấy:

\(AD = BC\) nhưng \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không bằng nhau.

\(CD > AB\) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không bằng nhau.

\(AC\) và \(BD\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) không bằng nhau.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

\(\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\) (đpcm)

Ta có: \(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

\(=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{CD}\)

Ta có: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{DC}-4\cdot\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}\)

Do đó: \(3\cdot\overrightarrow{AB}+4\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{MN}\)

Tham khảo:

Ta có: \( \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  =  \overrightarrow {AC} \) (do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABMC là hình bình hành.

\( \Rightarrow  \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CM} \). 

\( \Rightarrow C\) là trung điểm DM.

Vậy M thuộc DC sao cho C là trung điểm DM.

Chú ý khi giải

+) Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

+) ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

a: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

O là trung điểm của AC

=>\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}=\frac12\cdot\overrightarrow{CA}\)

=>\(\overrightarrow{CO};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{OC};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AO}\) là các vecto cùng phương với vecto OA

O là trung điểm của BD

=>\(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}=\frac12\cdot\overrightarrow{BD}\)

=>Các vecto cùng chiều với \(\overrightarrow{BD}\) là \(\overrightarrow{BO};\overrightarrow{OD}\)

b: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

O là trung điểm của AC

=>\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\)

=>\(\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}\)