Gọi H là trung điểm DC. 

Chứng minh HE// IF( vì cùng //BC)

=> HE vuông FK ( vì FK vuông IF)

Tương tự HF// EI( vì cùng //AD)

=> HF vuông  EK( vì EK vuông IE)

Xét tam giác EFH có EK và FK là 2 đường cao nên K là trực tâm. Suy ra HK vuông FE mà FE //DC nên HK vuông DC tại H suy ra tam giác KDC cân tại K. Nên KD=KC

Gọi $AB\parallel CD$ và $AB<CD$.

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ$

Do $AE,DE$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat A,\widehat D$:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Trong $\triangle AED$:

$\widehat{AED}+\frac{\widehat A}{2}+\frac{\widehat D}{2}=180^\circ$

$\widehat{AED}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{AED}=90^\circ$

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat B+\widehat C=180^\circ$

Do $BF,CF$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat B,\widehat C$:

$\widehat{FBC}=\frac{\widehat B}{2}$

$\widehat{BCF}=\frac{\widehat C}{2}$

Trong $\triangle BFC$:

$\widehat{BFC}+\frac{\widehat B}{2}+\frac{\widehat C}{2}=180^\circ$

$\widehat{BFC}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{BFC}=90^\circ$

Gọi $P=AE\cap BF$ và $P\in CD$.

Đặt:

$AD=d,\quad BC=b,\quad CD=c$

Vì $AP$ là tia phân giác $\widehat A$ và $P\in CD$ nên từ tính chất tia phân giác trong cấu hình hình thang, ta có:

$PD=AD=d$

Tương tự, vì $BP$ là tia phân giác $\widehat B$:

$PC=BC=b$

Mà:

$CD=PD+PC$

$CD=AD+BC$

Vậy:

$AD+BC=CD$

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.

Ta có:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Mà:

$\widehat A+\widehat D=180^\circ$

Suy ra:

$\widehat{EAD}+\widehat{ADE}=90^\circ$

Do đó:

$\widehat{AED}=90^\circ$

Đồng thời, do $AB\parallel CD$, hai tia phân giác tại $A,D$ đối xứng theo phương song song với hai đáy, nên $E$ có khoảng cách đến $AB$ và $CD$ bằng nhau.

Suy ra $E$ nằm trên đường thẳng qua trung điểm của hai cạnh bên, tức đường trung bình của hình thang.

Tương tự, $F$ cũng nằm trên đường trung bình.

Vậy: $E,F$ cùng nằm trên đường trung bình của hình thang $ABCD$.

a)

Từ ĐKĐB dễ thấy các tứ giác ABID,ABCK là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song với nhau

\(\Rightarrow AB=DI;AB=CK\Rightarrow DI=CK\Rightarrow DK=CI\)

Áp dụng định lý Ta-lét:

\(AB||DK\Rightarrow\frac{DE}{EB}=\frac{DK}{AB}\)

\(AB||CI\Rightarrow\frac{IF}{FB}=\frac{CI}{AB}\)

Maf \(CI=DK\)(cmt)

\(\Rightarrow\frac{DE}{EB}=\frac{IF}{FB}\)Theo định lý Ta-let đảo suy ra EF\(||\)CD

b)Từ các đường thẳng song song, và DI=CK=AB, áp dụng định lý Ta-let:

\(\frac{AB}{EF}=\frac{DI}{EF}=\frac{BD}{BE}=\frac{BE+ED}{BE}=1+\frac{ED}{BE}=1+\frac{DK}{AB}=1+\frac{CE-CK}{AB}=1+\frac{CD-AB}{AB}=\frac{CD}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=EF.CD\)( đpcm ) 

Giúp mình với, mình cần gấp !!!!!!!!!!!! Thanks các bạn nhìu!

a: Xét hình thang ABCD có EF//AB//CD

nên \(\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}\)

=>\(\frac{6}{FC}=\frac42=2\)

=>FC=3(cm)

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\hat{OAB}=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\)

=>\(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)