a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\times AB\times AC=\frac12\times10\times15=75\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Vì M là trung điểm của CB

nên \(S_{AMC}=S_{AMB}=\frac12\times S_{ABC}=\frac12\times75=37,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: DC+AD=CA

=>\(AD=AC-\frac13\times AC=\frac23\times AC\)

=>\(AD=2\times DC\)

=>\(S_{BDA}=2\times S_{BDC};S_{IAD}=2\times S_{IDC}\)

=>\(S_{BDA}-S_{IDA}=2\times\left(S_{BDC}-S_{IDC}\right)\)

=>\(S_{BIA}=2\times S_{BIC}\)

Ta có: MB=MC

=>\(S_{AMB}=S_{AMC};S_{IMB}=S_{IMC}\)

=>\(S_{AMB}-S_{IMB}=S_{AMC}-S_{IMC}\)

=>\(S_{AIB}=S_{AIC}\)

=>\(S_{AIB}=S_{AIC}=2\times S_{BIC}\)

Ta có: \(S_{BIC}+S_{AIB}+S_{AIC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BIC}+2\times S_{BIC}+2\times S_{BIC}=75\)

=>\(5\times S_{BIC}=75\)

=>\(S_{BIC}=15\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{CIA}=2\times15=30\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vì \(CD=\frac13\times CA\)

nên \(S_{CDI}=\frac13\times S_{CIA}=\frac{30}{3}=10\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vì M là trung điểm của CB

nên \(S_{CIM}=\frac12\times S_{CIB}=\frac{15}{2}=7,5\left(\operatorname{cm^2}^{}\right)\)

\(S_{CDIM}=S_{CID}+S_{CMI}=7,5+10=17,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

S ABC là : 15 x 10 : 2 = 72 ( cm² )

S ABM = S AMC

S BIM = 

\(\Rightarrow\)S AIB = S AIC

S AIB = S IBC x 2 

\(\Rightarrow\)S AIB là 1 phần và S AIC là 1 phần còn S IBC là 0,5 phần

S AIC là : 75 : ( 1 + 1 + 0,5 ) x 1 = 30 ( cm² )

S IDC = 1 phần 3 S AIC = 30 : 3 x 1 = 10 ( cm² )

S IMC = 1 phần 2 S IBC = 15 : 2 x 1 = 7,5 ( cm² )

S IMCD là : 10 + 7,5 = 17,5 ( cm² )

S ABC là: 15 x 10 : 2 = 75 ( cm2 )

S ABM = SAMC

S IBM = S IMC

=> S AIB = S AIC

S ABI = S IBC x 2 => S AIB là 1 phần và S AIC là 1 phần và S IBC là 0.5 phần

S AIC là: 75 : ( 1 + 1 + 0.5 ) x 1 = 30 ( cm2 )

S IDC = 1/3 S AIC = 30 x 1/ 3 = 10 cm2

S IMC = 1 / 2 S IBC = 15x1/2 = 7.5 cm2

S IMCD = 10 + 7.5 = 17.5 cm2 

A B C D M I

S_ABC = 10 x 15 : 2 = 75 (cm²)

Do MB = MC nên S_AMB = S_AMC = 75 : 2 = 37,5 (cm²)

Hai tam giác BAD và BCD có DC = 1/3AC = 1/2AD và có chung đường cao kẻ từ B nên S_BCD = 1/2S_BAD.

=>  hai đường cao kẻ từ C và từ A có tỉ lệ 1/2.

Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BIA và BIC => S_BIC = 1/2S_BIA. Mặt khác Ta lại có S_IMB = S_IMC => S_IMB = 1/4S_BIA. Hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ B nên  IM = 1/4IA => S_CIM = 1/4S_CIA.

S_CIM = 37,5 : (4+1) = 7,5 (cm²)

Tương tự:    S_IDC = 1/3S_IAC = (37,5 - 7,5) : 3 = 10 (cm²)

Mà:  S_IMCD = S_CIM + S_IDC = 7,5 + 10 = 17,5 (cm²)

S ABC là: 15 x 10 : 2 = 75 ﴾ cm2 ﴿

S ABM = SAMC

S IBM = S IMC

=> S AIB = S AIC

S ABI = S IBC x 2

=> S AIB là 1 phần và S AIC là 1 phần và S IBC là 0.5 phần

S AIC là:

75 : ﴾ 1 + 1 + 0.5 ﴿ x 1 = 30 ﴾ cm2 ﴿

S IDC = 1/3 S AIC = 30 x 1/ 3 =10cm2

 S IMC = 1 / 2 S IBC = 15x1/2 = 7.5 cm2

S IMCD = 10 + 7.5 = 17.5 cm2