a: ΔABC vuông tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên DA=DB=DC

Xét tứ giác ADCE có

I là trung điểm chung của AC và DE

=>ADCE là hình bình hành

Hình bình hành ADCE có AD=DC

nên ADCE là hình thoi

b: ADCE là hình thoi

=>AE//CD và AE=CD

AE//CD

=>AE//BD

AE=CD

CD=BD

Do đó: AE=BD

Xét tứ giác AEDB có

AE//DB

AE=DB

Do đó: AEDB là hình bình hành

c: Hình thoi ADCE trở thành hình vuông khi \(\hat{ADC}=90^0\)

=>AD⊥BC tại D

Xét ΔACB có

AD là đường cao

AD là đường trung tuyến

Do đo: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

d: D đối xứng F qua AB

=>AB là đường trung trực của DF

=>AD=AF và BD=BF

mà AD=DB

nên DA=DB=FA=FB

=>DAFB là hình thoi

=>AF//BD và AF=BD

AF//BD

AE//BD

mà AF,AE có điểm chung là A

nên F,A,E thẳng hàng

AF=BD

AE=BD

Do đó: AF=AE
=>A là trung điểm của FE

1: BC=5cm

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

M là trung điểm của BC

Do đó: DM là đường trung bình

=>DM=AC/2=2(cm)

2: Xét tứ giác ACME có 

ME//AC

ME=AC

Do đó: ACME là hình bình hành

Xét tứ giác AEBM có

D là trung điểm của ME

D là trung điểm của AB

Do đó: AEBM là hình bình hành

mà MA=MB

nên AEBM là hình thoi

A B C D I E 1 1 2

a) Xét tứ giác ADCE có:

I là trung điểm AC (gt), I là trung điểm DE(gt),. AC giao DE tại I (h.vẽ)

\(\Rightarrow ADCE\)là hbh 

b) Để\(ADCE\)là hình thoi

\(\Leftrightarrow AD=DC\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\)là tam giác cân tại D 

\(\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{C1}\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{A1}+\widehat{A2}=\widehat{A}=90^0\left(2\right)\)

Vì tam giác ABC vuông ở A nên \(\widehat{B}+\widehat{C1}=90^0\)( 2 góc phụ nhau ) (3)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{A1}=90^0\)(4)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{A2}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\)cân ở D

\(\Rightarrow BD=AD\)mà AD=DC

\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}BC\)

Xét tam giác ABC vuông ở A có: \(AD=\frac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow AD\)là đường trung tuyến của tam giác ABC

\(\Rightarrow D\)là trung điểm của BC.

Vậy D phải ở vị trí là trung điểm của BC thì \(ADCE\)là hình thoi.

+) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông ở A ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(5^2+12^2=BC^2\)

\(169=BC^2\)

\(\Rightarrow BC=13\)mà \(DC=\frac{1}{2}BC\)( D là TĐ BC)

\(\Rightarrow DC=\frac{1}{2}.13=6,5\)

Vậy khi đó cạnh hình thoi ADCE là =6,5cm

A C B E D I

a) Xét tứ giác ADCE có: IA = IC (gt)

   ID = IE (gt)

=> tứ giác ADCE là hình bình hành

b) Để hình bình hành ADCE là hình thoi

<=> AD = DC 

<=> t/giác DAC cân tại D

<=> \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\)  

Do \(\widehat{B}+\widehat{BCA}=90^0\)

   \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90^0\)

 => \(\widehat{B}=\widehat{BAD}\)  <=> t/giác ABD cân tại D

<=> BD = AD (cùng = AD)

<=> D là trung điểm của BC

Áp dụng định lí Pi - ta - go vào t/giác ABC vuông tại A

Ta có: BC² = AB² + AC²

=> BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

=> BC = 13 (cm)

Do D là trung điểm của BC
=> BD = DC = 1/2BC = 1/2.13 = 6,5(cm)

Vậy ...

a: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot3\cdot4=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMBD có

I là trung điểm chung của AB và MD

=>AMBD là hình bình hành

Hình bình hành AMBD có MA=MB

nên AMBD là hình thoi

c: AMBD là hình thoi

=>AD//BM và AD=BM

AD//BM

=>AD//CM

AD=BM

BM=CM

Do đó: AD=CM

Xét tứ giác ADMC có

AD//MC

AD=MC

Do đó: ADMC là hình bình hành

d: Hình thoi AMBD trở thành hình vuông khi \(\hat{AMB}=90^0\)

=>AM⊥BC tại M

Xét ΔABC có

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

nên AM=BM=CM=BC/2

Xét tứ giác AMBE có 

D là trung điểm của đường chéo AB

D là trung điểm của đường chéo ME

Do đó: AMBE là hình bình hành

mà AM=BM

nên AMBE là hình thoi