a) độ dài cạnh đáy BC là:

\(12:\frac34=16\operatorname{cm}\)

diện tích △ABC là:

\(\frac{16.12}{2}=96\operatorname{cm}^2\)

b) xét △AMC và △ABC có:

2 △ này chung chiều cao từ C xuống AB

đáy \(AM=\frac12AB\) ( vì M là trung điểm của AB)

=> diện tích △AMC=\(\frac12\) diện tích △ABC

xét △AMN và △AMC có:

chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống AC

đáy AN=\(\frac12AC\) ( vì N là trung điểm AC)

=> diện tích △AMN=\(\frac12\) diện tích △AMC

diện tích △AMN=\(\frac12\cdot\frac12\) . diện tích △ABC=\(\frac12\cdot\frac12\cdot96=24\operatorname{cm}^2\)

diện tích tứ giác MNCB là:

\(96-24=72\operatorname{cm}^2\)

c) ta có diện tích △ABN= diện tích △ACM( vì đều bằng \(\frac12\triangle ABC\) )

vì 2 △ này chứa chung tứ giác AMN

=> diện tích BMN=diện tích CNM

vì I là trung điểm MN => MI=IN

=> diện tích△ BMI= diện tích△CNI

cộng diện tích lại ta có:

=> diện tích △ABI= diện tích △ACI(1)

xét △ABK và △ACK có:

I là trung điểm mà AK đi quá I

=> AK chia đôi △ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau đi quá trục giữa

=> diện tích △ABK= diện tích △ACK(2)

ta thấy :

diện tích △BIK= diện tích △ABK- diện tích △ABI

diện tích △KIC= diện tích △ACK- diện tích △ACI

từ (1)(2)=> diện tích △BIK= diện tích △KIC

vậy chúng bằng nhau(đpcm)

          A
         / \
      M /--- \ N (I là trung điểm MN)
     / /  |   \ \
    B /___|____\ C
          K
(K là giao điểm của AI và BC)
Hình vẽ minh họa

a) Tính diện tích tam giác ABC

• Độ dài đáy BC của tam giác là:
  12 : 3/4 = 16 (cm)
• Diện tích tam giác ABC là:
  S_ABC = 1/2 x 16 x 12 = 96 (cm²)

• Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
• Do đó, MN = 1/2 BC và chiều cao từ A đến MN bằng 1/2 chiều cao từ A đến BC.
• Diện tích tam giác AMN là:
  S_AMN = 1/4 S_ABC (vì đáy MN = 1/2 BC và chiều cao bằng 1/2 chiều cao tam giác ABC)
  S_AMN = 96 : 4 = 24 (cm²)
• Diện tích tứ giác MNCB là:
  S_MNCB = S_ABC - S_AMN = 96 - 24 = 72 (cm²)

• Vì MN song song với BC (do MN là đường trung bình) và I là trung điểm của MN, nên đường thẳng AI khi kéo dài sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
• Suy ra K là trung điểm của BC, nghĩa là BK = KC.
• Xét hai tam giác BIK và KIC:
• • Chúng có chung đường cao hạ từ đỉnh I xuống đáy BC.
  • Chiều dài hai đáy bằng nhau: BK = KC.
• Kết luận: Diện tích tam giác BIK bằng diện tích tam giác KIC (S_BIK = S_KIC).

a: Độ dài đáy là:

\(12:\frac34=12\times\frac43=16\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\times12\times16=6\times16=96\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Ta có: \(AM=\frac12\times AB\)

=>\(S_{AMC}=\frac12\times S_{ABC}\)

Ta có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>\(S_{AMN}=\frac12\times S_{AMC}=\frac12\times\frac12\times S_{ABC}=\frac14\times S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{AMN}+S_{MNCB}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MNCB}=S_{ABC}-S_{AMN}=S_{ABC}-\frac14\times S_{ABC}=\frac34\times S_{ABC}=\frac34\times96=72\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: TA có: \(AN=\frac12\times AC\)

=>\(S_{ABN}=\frac12\times S_{ABC}\)

=>\(S_{ABN}=S_{AMC}\)

=>\(S_{AMN}+S_{MNB}=S_{AMN}+S_{MNC}\)

=>\(S_{NMB}=S_{MNC}\)

=>\(\frac12\times S_{BMN}=\frac12\times S_{CNM}\)

=>\(S_{BMI}=S_{CNI}\)

Ta có: I là trung điểm của MN

=>\(S_{AMI}=S_{ANI}\)

=>\(S_{AMI}+S_{BMI}=S_{AIN}+S_{INC}\)

=>\(S_{AIB}=S_{AIC}\)

Ta có: K nằm giữa B và C

=>\(\frac{S_{AKB}}{S_{AKC}}=\frac{KB}{KC};\frac{S_{IKB}}{S_{IKC}}=\frac{KB}{KC}\)

=>\(\frac{S_{AKB}-S_{IKB}}{S_{AKC}-S_{IKC}}=\frac{KB}{KC}\)

=>\(\frac{KB}{KC}=\frac{S_{AIB}}{S_{AIC}}=1\)

=>KB=KC

=>\(S_{IKB}=S_{IKC}\)