A B C M D E 1 1 1 1 2

a) Do ΔABC đều => AB = BC = AC = a; \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

Xét ΔBDM vuông tại D có: MD = MB.sin\(\widehat{B}\) = MB.sin60^o = MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                           BD = MB.cos\(\widehat{B}\) = MB.cos60^o = \(\dfrac{1}{2}\).MB

ΔCEM vuông tại E có: ME = MC.sin\(\widehat{C}\) = MC.sin60^o = MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                     EC = MC.cos\(\widehat{C}\) = MC.cos60^o = \(\dfrac{1}{2}\).MC

=> Chu vi tứ giác ADME là:

AD + AE + MD + ME = (AB - BD) + (AC - CE) + MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) + MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

                                  = AB + AC - (BD + CE) + \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)

                                  = AB + AC - \(\dfrac{1}{2}\).(MB + MC) +   \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)

                                   = AB + AC + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).BC

                                   = a + a + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).a = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\).a

Do a không đổi => chu vi tứ giác ADME không đổi 

b) Xét ΔBMD vuông tại D => \(\widehat{M_1}=90^o-\widehat{B}=90^o-60^o=30^o\)

ΔCME vuông tại E => \(\widehat{M_2}=90^o-\widehat{C}=90^o-60^o=30^o\) => 

Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ⇔ \(\widehat{E_2}=\widehat{B}=60^o\)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\) (cmt) => \(\widehat{E_2}=\widehat{C}\). Mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DE // BC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D_1}=\widehat{M_1}=30^o\\\widehat{E_1}=\widehat{M_2}=30^o\end{matrix}\right.\)(hai góc so le trong)

=> \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\left(=30^o\right)\)

=> ΔMDE cân tại M => MD = ME

=> \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MB = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MC => MB = MC => M là trung điểm của BC

Vậy để tứ giác BDEC nội tiếp thì M là trung điểm của BC

Gọi $AC=a,\ AB=b$ nên $BC=a+b$.

Vì $M$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:

$\widehat{BMC}=90^\circ$

Mà $D,C,M$ thẳng hàng và $A,D$ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với $AC$ nên:

$\widehat{CAD}=\widehat{BMC}=90^\circ$

Xét hai tam giác $\triangle CAD$ và $\triangle CMB$:

$\widehat{CAD}=\widehat{CMB}=90^\circ$

$\widehat{ACD}=\widehat{MCB}$

$\Rightarrow \triangle CAD\sim\triangle CMB$

Suy ra:

$\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$

$\Rightarrow CM\cdot CD=\dfrac{CB}{CA},CM^2$

Cách này không cho hằng số trực tiếp, nên ta dùng hệ thức lượng.

Từ tam giác vuông $CMB$:

$CM^2=CB\cdot CH$

với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $CB$.

Do đó:

$CM\cdot CD=CB\cdot CA$

Vậy:

$\boxed{CM\cdot CD=CA\cdot CB}$

không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $A,D\perp AC$ nên:

$\widehat{DAN}=90^\circ$

Mặt khác, $N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:

$\widehat{BNC}=90^\circ$

Do $A,C,B$ thẳng hàng nên:

$\widehat{ANP}=90^\circ$

Vậy:

$\widehat{DAN}=\widehat{ANP}=90^\circ$

Suy ra $A,D,N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$.

Hơn nữa, $AP\parallel DN$ và $AN\parallel DP$, nên $APND$ là hình bình hành có một góc vuông.

Do đó:

$\boxed{APND\text{ là hình chữ nhật}}$.