a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó; BMDN là hình bình hành

c: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác QMKN có

QM//KN

QN//KM

Do đó: QMKN là hình bình hành

=>QK cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,BD,QK,MN đồng quy

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

c: Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

Ta có: BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác MQNK có

MQ//NK

MK//NQ

Do đó: MQNK là hình bình hành

=>MN cắt QK tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,MN,BD,QK đồng quy

Cho hình chữ nhật \(A B C D\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(N\) là trung điểm của \(C D\).

a) Chứng minh \(A M N D\) và \(B M N C\) là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(A M N D\):

• \(A M \parallel D N\) (cùng song song với \(A B\)).
• \(A D \parallel M N\) (cùng song song với \(A D\)).
• Hai cạnh kề \(A M\) và \(A D\) vuông góc.

Vậy \(A M N D\) là hình chữ nhật.

Tương tự, với tứ giác \(B M N C\):

• \(B M \parallel C N\).
• \(B C \parallel M N\).
• Hai cạnh kề \(B M\) và \(B C\) vuông góc.

Vậy \(B M N C\) cũng là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(A M C N\) và \(B M D N\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A M C N\):

• \(A M \parallel C N\) và \(A M = C N\).
• \(A N \parallel M C\) và \(A N = M C\).

Do có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên \(A M C N\) là hình bình hành.

Tương tự, trong tứ giác \(B M D N\):

• \(B M \parallel D N\) và \(B M = D N\).
• \(B N \parallel M D\) và \(B N = M D\).

Suy ra \(B M D N\) cũng là hình bình hành.

c) Gọi \(Q , K\) lần lượt là giao điểm của \(A N\) và \(D M\); \(B N\) và \(C M\). Chứng minh \(A C , D B , Q K , M N\) đồng quy.

• Giao điểm \(Q = A N \cap D M\) và \(K = B N \cap C M\) đều nằm trên đường thẳng song song với \(A B\) (qua trung điểm cạnh bên), do đó \(Q K\) là đường thẳng song song với \(A B\).
• Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) của hình chữ nhật cắt nhau tại \(O\) — chính là tâm hình chữ nhật.
• \(M N\) nối trung điểm \(A B\) và \(C D\), đi qua tâm \(O\).
• Đường \(Q K\) cũng đi qua \(O\).

Vậy bốn đường thẳng \(A C , B D , M N , Q K\) đồng quy tại \(O\).

(B)

x 6cm 4cm Theo định lý Py - ta - go :

x² = 4² + 6²

⇒ x² = 16 + 36

⇒ x² = 52

⇒ x =

a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)

\(DK=KC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=BC=DC

nên AE=EB=BF=FC=DK=KC

Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

Do đó: AECK là hình bình hành

b: Xét ΔDCF vuông tại C và ΔCBE vuông tại B có

DC=CB

CF=BE

Do đó: ΔDCF=ΔCBE

=>\(\hat{FDC}=\hat{ECB}\)

mà \(\hat{FDC}+\hat{CFD}=90^0\) (ΔCFD vuông tại C)

nên \(\hat{ECB}+\hat{CFD}=90^0\)

=>EC⊥DF

c: Sửa đề: AK cắt DF tại N, EC cắt DF tại M. Chứng minh ND=NM

AECK là hình bình hành

=>AK//CE

=>NK//MC

Xét ΔDMC có

K là trung điểm của DC

KN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

=>DN=NM

3

Lời giải

Gọi O là giao của AC và BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

a: Xét ΔOFD vuông tại F và ΔOGA vuông tại G có

OD=OA

góc AOD chung

Do đó: ΔOFD=ΔOGA

=>góc OAG=góc ODF và OF=OG

Xét ΔOEC vuôg tại E và ΔOHB vuông tại H có

OC=OB

góc EOC chung

Do đó: ΔOEC=ΔOHB

=>OE=OH; góc OCE=góc OBH

Xét ΔOAD có OF/OA=OG/OD

nên FG//AD và FG/AD=OF/OA

=>góc OFG=góc OAD=góc OBC=góc OCB=góc OGF

Xét ΔOBC có OE/OB=OH/OC

nên EH//BC và EH/BC=OE/OB

=>góc OEH=góc OHE=góc OBC=góc ODA=góc OGF=góc OFG

Xét ΔFAD vuông tại F và ΔEBC vuông tại E có

AD=BC

góc FAD=góc EBC

Do đó: ΔFAD=ΔEBC

=>FD=EC

Xét tứ giác FGDA có FG//DA; góc FAD=góc GDA

nên FGDA là hình thang cân

=>FA=GD 

=>góc DFG=góc FAD

EH//BC

nên góc CEH=góc ECB=góc FDA=góc DFG

=>ΔCEH=ΔFDG

=>FG=EH

=>FG/AD=EH/BC

=>OF/OA=OE/OB

=>OF=OE và FE//AB//CD

Xét tứ giác CEFD có

FE//CD

FC=ED

Do đó: CEFD là hình thang cân

b: EF//AB

nên EF vuông góc với BC

=>EF vuông góc với FG

=>FEHG là hình chữ nhật

Phần I

Câu 1: c,d

Câu 2: e

Phần II

Câu 1:

a, 2008a²-2008b²=2008(a²-b²)=2008(a-b)(a+b)

b, x²-8x+15=x²-3x-5x-+15=x(x-3)-5(x-3)=(x-5)(x-3)

Câu 2:

a, M= (x-3)(x+3)-(x+2)²-2(x²-4,5)

M= x²-9-(x²+4x+4)-2x²+9

M= x²-9-x²-4x-4-2x²+9

M= -2x²-4x-4

M= -2(x²+2x+2)b, Để M=0 -> -2(x²+2x+2)=0->x²+2x+2=0

Phần 1:

Câu 1: D

Câu 2: E

Phần 2:

Câu 1:

\(A=2008a^2-2008b^2\)

\(=2008\left(a^2-b^2\right)\)

\(=2008\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(B=x^2-8x+15\)

\(=x^2-3x-5x+15\)

\(=x\left(x-3\right)-5\left(x-3\right)\)

\(=\left(x-3\right)\left(x-5\right)\)

Câu 2:

\(M=\left(x-3\right)\left(x+3\right)-\left(x+2\right)^2-2\left(x^2-4,5\right)\)

\(=x^2-9-x^2-4x-4-2x^2+9\)

\(=-2x^2-4x-4\)

\(=-2\left(x^2+2x+2\right)\)

\(=-2\left[\left(x^2+2x+1\right)+1\right]\)

\(=-2\left[\left(x+1\right)^2+1\right]\)

\(=-2-2\left(x+1\right)^2\le-2< 0\)

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu.