a) Ta có SA \( \bot \) (ABC) nên A là hình chiếu của S trên (ABC)

b) A là hình chiếu của S trên (ABC)

B là hình chiếu của B trên (ABC)

C là hình chiếu của C trên (ABC)

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC.

c)  B là hình chiếu của C trên (SAB)

S, B là hình chiếu của chính nó trên (SAB)

\( \Rightarrow \) SB là hình chiếu của tam giác SBC trên (SAB)

Đề bài hiện còn thiếu dữ kiện về cạnh của tam giác đều $ABC$ nên chưa thể tính được góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$. Bạn kiểm tra lại nhé

a.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

b.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi  là trung điểm của  suy ra

.

Ta có: