Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật)

∆ OAB = ∆ OCD (c.g.c) (1)

∆ OAD = ∆ OBC (c.g.c) (2)

Kẻ AH ⊥ BD

Suy ra: (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Xét △ ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB.

Từ M kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại K

Từ N kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại L

Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt hai đường thẳng MK và NL tại T và R

Ta có:  △ MKC =  △ MTA

△ NLB =  △ NAR

Cắt  △ ABC theo đường MK và NL ta ghép lại được một hình chữ nhật KTRL có diện tích bằng diện tích tam giác ABC

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật ABCD.

Ta có: OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật)

△ OAB =  △ OCD (c.g.c) ⇒ S O A B = S O C D  (1)

△ OAD =  △ OBC (c.g.c) ⇒  S O A D = S O B C  (2)

Kẻ AH ⊥ BD

S O A D  = 1/2 AH.OD

S O A B  = 1/2 AH.OB

Suy ra:  S O A D  =  S O A B  (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒  S O A B  =  S O B C  =  S O C D  =  S O D A

a: BE là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABE}=\hat{CBE}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

AE là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAE}=\hat{DAE}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

DH là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADH}=\hat{CDH}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

CG là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{BCG}=\hat{DCG}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}=\hat{EBA}\left(=45^0\right)\)

nên ΔEAB vuông cân tại E

=>AE⊥BF tại E và EA=EB

Xét ΔHAD có \(\hat{HAD}=\hat{HDA}\left(=45^0\right)\)

nên ΔHAD vuông cân tại H

=>HA=HD và DH⊥AE tại H

Xét ΔGDC có \(\hat{GDC}=\hat{GCD}=45^0\)

nên ΔGDC vuông cân tại G

=>GC=GD và DH⊥CG tại G

Xét ΔFBC có \(\hat{FBC}=\hat{FCB}\left(=45^0\right)\)

nên ΔFBC vuông cân tại F

=>FB=FC và BF⊥CG tại F

Xét ΔHAD vuông tại H và ΔFBC vuông tại F có

AD=BC

\(\hat{HAD}=\hat{FBC}\left(=45^0\right)\)

Do đó: ΔHAD=ΔFBC

=>HA=FB và HD=FC

=>HA=HD=FB=FC

Xét ΔEAB vuông tại E và ΔGDC vuông tại G có

AB=DC

\(\hat{EAB}=\hat{GDC}\left(=45^0\right)\)

Do đó: ΔEAB=ΔGDC

=>EA=GD và EB=GC

=>EA=GD=EB=GC

HE+AH=AE

EF+EB=BF

mà AH=EB và AE=GC

nên HE=EF

Xét tứ giác EHGF có \(\hat{EHG}=\hat{HGF}=\hat{EFG}=90^0\)

nên EHGF là hình chữ nhật

Hình chữ nhật EHGF có EH=HF

nên EHGF là hình vuông