a: ABCD là hình chữ nhật

=>AB=CD

=>AB=20(cm)

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BC^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

Xét ΔBAC vuông tại B có sin BAC=\(\frac{BC}{CA}=\frac{15}{25}=\frac35\)

nên \(\hat{BAC}\) ≃ 37 độ

ΔBAC vuông tại B

=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=90^0\)

=>\(\hat{BCA}=90^0-37^0=53^0\)

b: Gọi I là trung điêm của HD

Xét ΔHAD có

M,I lần lượt là trung điểm của HA,HD

=>MI là đường trung bình của ΔHAD

=>MI//AD và \(MI=\frac{AD}{2}\)

MI//AD

AD//BC

Do đó: MI//BC

=>MI//BN và MI//CN

\(MI=\frac{AD}{2}\)

\(CN=\frac{CB}{2}\)

mà AD=CB

nên MI=CN

Xét tứ giác MICN có

MI//CN

MI=CN

Do đó: MICN là hình bình hành

=>MN//CI

Ta có: MI//AD

DA⊥ DC

Do đó: MI⊥ DC

Xét ΔMDC có

MI,DH là các sđường cao

MI cắt DH tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔMDC

=>CI⊥MD

mà CI//MN

nên MN⊥MD

=>ΔMND vuông tại M

=>\(MN^2+MD^2=DN^2\left(1\right)\)

ΔDCN vuông tại C

=>\(DC^2+CN^2=DN^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(MN^2+MD^2=DC^2+CN^2\)

a: Xét tứ giác ODAE có

góc ODA+góc OEA=180 độ

=>ODAE là tứ giác nội tiếp

b: \(AE=\sqrt{\left(3R\right)^2-R^2}=2\sqrt{2}\cdot R\)

\(OI=\dfrac{OE^2}{OA}=\dfrac{R^2}{3R}=\dfrac{R}{3}\)

c: Xét ΔDIK vuông tại I và ΔDHE vuông tại H có

góc IDK chung

=>ΔDIK đồng dạng vơi ΔDHE

=>DI/DH=DK/DE

=>DH*DK=DI*DE=2*IE^2

a: Xét tứ giác OICH có \(\hat{OIC}+\hat{OHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OICH là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔAMB

=>\(\frac{AH}{AM}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AM\cdot AE=AH\cdot AB\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AC^2=AM\cdot AE\)

a/ Tam giác BMD vuông tại B có BI là trung tuyến nên IB=MD/2=ID lại có CB = CD
=> IC là đường trung trực của đoạn thẳng BD
=> IC qua trung điểm O của BD hay I,O,C thẳng hàng.
Mặt khác: A,O,C thẳng hàng (O là trung điểm AC)
Vậy A,O,I,C thẳng hàng.
b/ Ta có: AFD = CID (cùng bù với góc AID)
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc CID = CED (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh CD dưới góc bằng nhau).
Do đó: góc AFD = CED.
c/ Tự chứng minh tam giác AFD = tam giác CED => DF = DE
EF là trung trực của đoạn thẳng MD => DF = FM và DE = EM
Từ đó suy ra DF=FM=EM=DE => DEMF là hình thoi (1)
=> DI là phân giác của góc EDF.
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc IDE = góc ICE = 45 độ => Góc EDF = 2.IDE = 90 độ (2)
Từ (1) và (2) => DEMF là hình vuông.

bvczakk

a) \(\Delta NBM~\Delta DAM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NM}{DM}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{2}\)

\(DM=\sqrt{AM^2+AD^2}=\sqrt{\frac{4}{9}a^2+a^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}a\)

\(DN=\frac{3}{2}DM=\frac{\sqrt{13}a}{2}\)

\(NC=\sqrt{DN^2-DC^2}=\sqrt{\frac{13}{4}a^2-a^2}=\frac{3}{2}a\)

\(\frac{1}{EC^2}=\frac{1}{DC^2}+\frac{1}{NC^2}\Rightarrow EC=\frac{3\sqrt{13}}{13}a\)

b) \(\frac{1}{DM^2}+\frac{1}{DN^2}=\frac{1}{\frac{13}{9}a^2}+\frac{1}{\frac{13}{4}a^2}=\frac{4+9}{13a^2}=\frac{1}{a^2}\)