Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D M N H I
Kẽ NI // BC
\(\Rightarrow\frac{DN}{DC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AH}\)
\(\Rightarrow\)MI // BH
\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{MBH}\left(1\right)\)
Tứ giác IBCN có
\(\widehat{IBC}=\widehat{BIN}=\widehat{BCN}\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác IBCN là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{BCI}\left(2\right)\)
Xét tứ giác IMCB có
\(\widehat{IMC}=90\)(vì IM // BH và BH vuông góc AC)\
\(\widehat{IBC}=90\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác IMCB là tứ giác nội tiếp đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{ICB}\left(3\right)\)(cùng chắn cung IB)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{NBC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BMC}=90-\widehat{MBH}=90-\widehat{NBC}=\widehat{CNB}\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác MBCN nội tiếp đường tròn
Hay M,B,C,N cùng nằm trên một đường tròn
a: ABCD là hình chữ nhật
=>AB=CD
=>AB=20(cm)
ΔABC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(BC^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2\)
=>BC=15(cm)
Xét ΔBAC vuông tại B có sin BAC=\(\frac{BC}{CA}=\frac{15}{25}=\frac35\)
nên \(\hat{BAC}\) ≃ 37 độ
ΔBAC vuông tại B
=>\(\hat{BAC}+\hat{BCA}=90^0\)
=>\(\hat{BCA}=90^0-37^0=53^0\)
b: Gọi I là trung điêm của HD
Xét ΔHAD có
M,I lần lượt là trung điểm của HA,HD
=>MI là đường trung bình của ΔHAD
=>MI//AD và \(MI=\frac{AD}{2}\)
MI//AD
AD//BC
Do đó: MI//BC
=>MI//BN và MI//CN
\(MI=\frac{AD}{2}\)
\(CN=\frac{CB}{2}\)
mà AD=CB
nên MI=CN
Xét tứ giác MICN có
MI//CN
MI=CN
Do đó: MICN là hình bình hành
=>MN//CI
Ta có: MI//AD
DA⊥ DC
Do đó: MI⊥ DC
Xét ΔMDC có
MI,DH là các sđường cao
MI cắt DH tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔMDC
=>CI⊥MD
mà CI//MN
nên MN⊥MD
=>ΔMND vuông tại M
=>\(MN^2+MD^2=DN^2\left(1\right)\)
ΔDCN vuông tại C
=>\(DC^2+CN^2=DN^2\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(MN^2+MD^2=DC^2+CN^2\)
a: Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HD\)
=>\(HD=\frac{12^2}{16}=\frac{144}{16}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Vì \(\hat{BAD}+\hat{BCD}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BD
BÁn kính là \(\frac{BD}{2}=\frac{BH+HD}{2}=\frac{16+9}{2}=12,5\left(\operatorname{cm}\right)\)
A B C D M N F O E I J x
a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADN có: ^ABM = ^ADN (=900); AB=AD; BM=DN => \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADN (c.g.c)
=> AM=AN (2 canh tương ứng); ^BAM = ^DAN (2 góc tương ứng). Mà ^BAM + ^DAM = 900
=> ^DAN + ^DAM = ^MAN = 900 => AM vuông góc AN
Ta có: MF//AN; NF//AM; AM vuông góc AN nên ^MAN = ^AMF = ^ANF = 900
Do đó: Tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Lại có: AM=AN (cmt) => Tứ giác ANFM là hình vuông (đpcm).
b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng CD và BC
Tứ giác ANFM là hình vuông => FM=FN
Xét tứ giác CNFM có: ^MCN = ^MFN = 900 => ^FNC + ^CMF = 1800 => ^FNC = ^FMJ hay ^FNI = ^FMJ
Xét \(\Delta\)FIN và \(\Delta\)FJM có: ^FIN = ^FJM (=900); FN=FM; ^FNI = ^FMJ
=> \(\Delta\)FIN = \(\Delta\)FJM (Ch.gn) => FI = FJ (2 cạnh tương ứng)
Xét ^MCN: Có FI và FJ là k/c từ điểm F tới 2 cạnh của góc này; FI=FJ
=> F nằm trên đường phân giác của ^MCN (đpcm).
c) Gọi giao điểm của tia AD và CF là E.
CF là phân giác ^MCN => ^FCN = ^MCN/2 = 450 => ^FCN = ^ACD = 450
=> \(\Delta\)ACE vuông tại C có đường phân giác CD. Mà CD vuông góc AE
=> \(\Delta\)ACE vuông cân tại C = >CD đồng thời là đường trung tuyến => D là trung điểm AE
Suy ra: OD là đường trung bình \(\Delta\)FAE => OD // EF hay OD // CF (1)
Dễ c/m: BD // CF (Do ^DBC + ^BCF = 450 + 1350 = 1800) (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm B;D;O thẳng hàng (đpcm).
d) Ta thấy: B;D;O là 3 điểm thẳng hàng; BD cố định nên O luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di động trên Cx.