Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Dễ dàng chứng minh hai tam giác vuông ABE và BCF bằng nhau (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{BFC}\)
Mà \(\widehat{AEB}+\widehat{AEC}=180^0\Rightarrow\widehat{BFC}+\widehat{AEC}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EHF}=360^0-\left(\widehat{C}+\widehat{BFC}+\widehat{AED}\right)=90^0\)
Hay \(AE\perp BF\)
b.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABE:
\(AB^2=AH.AE\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AE}\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AB^2}{AE^2}=\dfrac{AB^2}{AB^2+BE^2}=\dfrac{AB^2}{AB^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{4}{5}\)
\(\dfrac{BH}{BF}=\dfrac{BH}{AE}=\dfrac{\dfrac{AB.BE}{AE}}{AE}=\dfrac{AB.BE}{AE^2}=\dfrac{AB.\dfrac{1}{2}AB}{AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2}=\dfrac{2}{5}\)
c. Hai tam giác vuông ABH và DAK đồng dạng (\(\widehat{ADK}\) và \(\widehat{BAH}\) cùng phụ \(\widehat{DAK}\))
\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow AK=\dfrac{AD.BH}{AB}=BH\)
Mà \(tan\widehat{BAH}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}AH\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{1}{2}AH\) hay K là trung điểm AH
Sửa đề: Chứng minh AD⊥BF
Gọi H là trung điểm của FC
ΔABC cân tại A
mà AE là đường cao
nên E là trung điểm của BC
Xét ΔFEC có
D,H lần lượt là trung điểm của FE,FC
=>DH là đường trung bình của ΔFEC
=>DH//EC
=>DH⊥AE
Xét ΔAEH có
HD,EF là các đường cao
HD cắt EF tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔAEH
=>AD⊥EH
Xét ΔBFC có
E,H lần lượt là trung điểm của CB,CF
=>EH là đường trung bình của ΔBFC
=>EH//BF
mà AD⊥EH
nên AD⊥BF
A B C D E F G
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{FG}=0\)
Ta có \(\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}\right)\)
\(\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{FC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EC}\right)\)
=> \(\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{FG}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}\right)\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EC}\right)=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{EC}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(0+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AD}+0\right)=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BC}\right)\) (vì EA là hình chiếu của BA lên EC; AD song song và bằng BC)
\(=\frac{1}{4}\left(-BE^2+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BC}\right)\) (tính chất đường cao tam giác vuông BAC)
\(=\frac{1}{4}\overrightarrow{BE}\left(-\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{BE}\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{EC}=0\)
(ĐFCM)