a: ΔADC vuông tại D

=>\(DA^2+DC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2\)

=>AC=17(cm)

Xét ΔDAC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(DM\cdot AC=DA\cdot DC\)

=>\(DM\cdot17=8\cdot15=120\)

=>\(DM=\frac{120}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔDCI vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DI=DC^2\)

=>\(DI=15^2:\frac{120}{17}=225\cdot\frac{17}{120}=15\cdot\frac{17}{8}=\frac{255}{8}\left(\operatorname{cm}\right)\)

DM+MI=DI

=>\(MI=DI-DM=\frac{255}{8}-\frac{120}{17}=\frac{3375}{136}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔADC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(AM\cdot AC=AD^2\)

=>\(AM=\frac{8^2}{17}=\frac{64}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

AM+MC=AC

=>\(MC=17-\frac{64}{17}=\frac{289}{17}-\frac{64}{17}=\frac{225}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔMAN vuông tại M và ΔMCD vuông tại M có

\(\hat{MAN}=\hat{MCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔMAN~ΔMCD
=>\(\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\) (1)

XétΔMAD vuông tại M và ΔMCI vuông tại M có

\(\hat{MAD}=\hat{MCI}\) (hai góc so le trong, AD//CI)

Do đó: ΔMAD~ΔMCI

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MI}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MI}\)

=>\(MN\cdot MI=MD^2\)

a: ΔADC vuông tại D

=>\(DA^2+DC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2\)

=>AC=17(cm)

Xét ΔDAC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(DM\cdot AC=DA\cdot DC\)

=>\(DM\cdot17=8\cdot15=120\)

=>\(DM=\frac{120}{17}\) (cm)

Xét ΔCDI vuông tại C có CM là đường cao

nên \(CD^2=DM\cdot DI\)

=>\(DI=15^2:\frac{120}{17}=225\cdot\frac{17}{120}=\frac{15\cdot17}{8}=\frac{255}{8}\) (cm)

DM+MI=DI

=>MI=255/8-120/17=3375/136(cm)

b: Xét ΔADC vuông tại A có DM là đường cao

nên \(AM\cdot AC=AD^2\)

=>\(AM=\frac{8^2}{17}=\frac{64}{17}\) (cm)

AM+MC=AC

=>\(MC=17-\frac{64}{17}=\frac{225}{17}\) (cm)

c: Xét ΔMNA vuông tại M và ΔMDC vuông tại M có

\(\hat{MNA}=\hat{MDC}\) (hai góc so le trong, AN//DC)

Do đó; ΔMNA~ΔMDC

=>\(\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\) (1)

Xét ΔMAD vuông tại M và ΔMCI vuông tại M có

\(\hat{MAD}=\hat{MCI}\) (hai góc so le trong, AD//CI)

Do đó: ΔMAD~ΔMCI

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MI}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MI}\)

=>\(MD^2=MN\cdot MI\)

a: ABCD là hình chữ nhật

=>\(AC^2=AD^2+DC^2\)

=>\(AC=\sqrt{8^2+15^2}=17\left(cm\right)\)

b: ΔDAC vuông tại D có DM là đường cao

nên DM^2=MA*MC; DM*AC=DA*DC
=>DM*17=8*15

=>DM=120/17(cm)

c: Xét ΔMAN vuông tại M và ΔMIC vuông tại M có

góc MAN=góc MIC

Do đó: ΔMAN đồng dạng với ΔMIC

=>MA/MI=MN/MC

=>MA*MC=MI*MN=MD^2

Cái quan trọng là câu d ý bạn mấy câu đó mình làm được hết r

a.Tam giác ADC vuông tại D :

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17\)(cm)

b.Xét tam giác ACD vuông tại D

Theo hệ thức lượng ta có:

DM.AC=AD.DC

DM=\(\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\)(cm)

c.Ta thấy tam giác ANM ~ tam giác INB

mà tam giác INB ~  tam giác ICM

vậy tam giác ANM ~ tam giác ICM

từ đó ta có được 

MN.MI=CM.AM

Mặt khác áp dụng htl trong tam giác ADC ta có: CM.AM=DI²

Vậy MN.MI=DI²

@.@

A B C D M 8 15

a ) Theo định lý py-ta-go cho \(\Delta ADC\) ta có :

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17cm\)

b ) Ta có : \(\Delta MDA\sim\Delta DCA\) ( tự chứng minh )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MD}{CD}=\dfrac{AD}{AC}\)

\(\Rightarrow\) \(MD=\dfrac{CD.AD}{AC}=\dfrac{15.8}{17}=7,1cm\)

Mình cần gấp lắm làm ơn!

Xét ΔADC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC nên ta có:

\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\)

\(\Leftrightarrow DE^2=23.04\)

hay DE=4,8(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAFD vuông tại A có AE là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:

\(DA^2=DE\cdot DF\)

\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{6^2}{4.8}=7,5\left(cm\right)\)

Ta có: DE+EF=DF(E nằm giữa D và F)

nên EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔADE vuông tại E, ta được:

\(AD^2=AE^2+DE^2\)

\(\Leftrightarrow AE^2=6^2-4.8^2=12.96\)

hay AE=3,6(cm)

Xét ΔAEF vuông tại E và ΔABC vuông tại B có 

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF=\dfrac{AE\cdot AC}{AB}=\dfrac{3.6\cdot8}{6}=4.8\left(cm\right)\)

Ta có: AF+FB=AB(F nằm giữa A và B)

nên BF=AB-AF=8-4,8=3,2(cm)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAMC vuông tại A, ta được:

\(MC^2=AC^2+AM^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=20^2-12^2=256\)

hay AC=16(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMC vuông tại A có AD là đường cao ứng với cạnh huyền MC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AD\cdot MC=AM\cdot AC\\AM^2=MD\cdot MC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD\cdot20=16\cdot12=192\\MD\cdot20=12^2=144\end{matrix}\right.\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}AD=9.6\left(cm\right)\\MD=7.2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: MD+DC=MC(D nằm giữa M và C)

nên DC=MC-MD=20-7,2=12,8(cm)

hay AB=12,8(cm)

Ta có: AD=BC(ABCD là hình chữ nhật)

nên AD=9,6(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(BH\cdot AC=AB\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\cdot16=9.6\cdot12.8=122.88\)

hay BH=7,68(cm)