Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với AB và SC.

AB // (α) nên (α) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến qua O và song song với AB. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua O song song AB với BC và AD.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OP // SC (P ϵ AS) (α) cắt mp(SAB) theo giao tuyến PQ // AB (Q ϵ SB)

Thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ có PQ // MN nên MNPQ là hình thang.

a) Vì M ∈ (SAB)

Và  nên (α) ∩ (SAB) = MN

và MN // SA

Vì N ∈ (SBC)

Và  nên (α) ∩ (SBC) = NP

và NP // BC (1)

 ⇒ (α) ∩ (SCD) = PQ

Q ∈ CD ⇒ Q ∈ (ABCD)

Và  nên (α) ∩ (ABCD) = QM

và QM // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang.

b) Ta có:

 ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx và Sx // AB // CD

MN ∩ PQ = I ⇒ 

MN ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB), PQ ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)

⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD) ⇒ I ∈ Sx

(SAB) và (SCD) cố định ⇒ Sx cố định ⇒ I thuộc Sx cố định.

Chọn A.

- Trong (SAB), từ M kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại Q.

- Trong (SBC) từ Q kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SC tại P.

- Do đó BC// QP, trong (ABC) từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N.

- Xét tứ giác MNPQ, ta có BC // QP nên tứ giác là là hình thang.

- Mặt khác:

nên tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$

a) Chứng minh  B 1 ,   C 1 ,   D 1  lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

Ta có:

⇒ A 1 B 1  là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒   B 1  là trung điểm của SB (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 1  là trung điểm của SC.

• D 1  là trung điểm của SD.

b) Chứng minh  B 1 B 2   =   B 2 B ,   C 1 C 2   =   C 2 C ,   D 1 D 2   =   D 2 D .

⇒ A 2 B 2  là đường trung bình của hình thang A 1 B 1 B A

⇒   B 2  là trung điểm của B 1 B

⇒   B 1 B 2   =   B 2 B (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 2  là trung điểm của C 1 C 2   ⇒   C 1 C 2   =   C 2 C

• D 2  là trung điểm của D 1 D 2   ⇒   D 1 D 2   =   D 2 D .

c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A 1 B 1 C 1 D 1 . A B C D   v à   A 2 B 2 C 2 D 2 . A B C D