Đáp án A

Chọn B

Đáp án D

Do đáy hình vuông cạnh a nên đường chéo  A C = a 2

S C ; A B C D ⏜ = A C , S C ⏜ = S C A ⏜ = 45 °

⇒ Δ S A C  vuông cân tại A  ⇒ S A = A C = a 2

V S . A B C D = 1 3 S A B C D . S A = 1 3 a 2 . a 2 = a 3 2 3

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = 1 3 S h  

Cách giải:

Chọn đáp án B

Đáp án D 

Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và CD

Vì Δ S A B  đều và mặt phẳng S A B ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D   .

Ta có

C D ⊥ H M C D ⊥ S H ⇒ C D ⊥ S H M     (1)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H  lên mặt phẳng   S C D (2) 

Từ (1) và (2) suy ra   H I ⊥ S C D

  Vì  A B // C D ⇒ A B // S C D ⇒ d A , S C D = d H , S C D = H I = 3 a 7 7

Giải sử A B = x    x > 0 ⇒ S H = x 3 2 H M = x   .

Mặt khác: 1 H I 2 = 1 H M 2 + 1 S H 2   ⇔ 7 9 a 2 = 1 x 2 + 4 3 x 2 ⇔ x 2 = 3 a 2 ⇒ x = 3 a  

Thể tích:   V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 .3 a 2 = 3 a 3 2  (đvtt)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a\sqrt2$ nên:

$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = 2a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = a^3 \Rightarrow \dfrac13 \cdot 2a^2 \cdot SH = a^3 \Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (SBC)$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:

$BH = CH = \dfrac{BC}{2} = a\sqrt2$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = a\sqrt2$.

=> $SA^2 = SH^2 + AH^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + (a\sqrt2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 2a^2 = \dfrac{17a^2}{4}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó lên $(SBC)$ nên:

$\sin \alpha = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$.

=> $\alpha \approx 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$.

Chọn đáp án C.