+) Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng (ABC) là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng (ABC) là:

(vì tam giác SIA vuông tại A nên góc SIA nhọn) ⇒ 

+) Xét tam giác SIA vuông tại A,   nên:

+) Dựng hình bình hành ACBD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.

+) Ta có:

   AC // BD; BD ⊂ (SBD) nên AC // (SBD).

   mà SB ⊂ (SBD) nên d(AC, SB) = d(A, (SBD)).

- Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và  mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK).

- Dựng AH ⊥ SK; H ∈ SK.

- Lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ (SBD).

- Vậy d(A, (SBD)) = AH.

- Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có:

- Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD)) 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$. Vì tam giác đều đáy, thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{0 + a + a/2}{3}, \dfrac{0 + 0 + a\sqrt{3}/2}{3},0\right) = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Trung điểm $I$ của $BC$:

$I = \left(\dfrac{a + a/2}{2}, \dfrac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$

Góc giữa $SI$ và mặt phẳng đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SI_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SI trên đáy}}$

Hình chiếu $\vec{SI}_{xy} = I - (x_S,y_S) = \left(\dfrac{3a}{4}-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{4} - \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\dfrac{a}{4}, \dfrac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$|\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{(a/4)^2 + (a\sqrt{3}/12)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2 \cdot 3}{144}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{a^2}{48}} = \sqrt{\dfrac{4 a^2}{48}} = \dfrac{a}{\sqrt{12}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy $SI_z = \tan 60^\circ \cdot |\vec{SI}_{xy}| = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{6} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a/2)$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = \left(a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a/2\right) = \left(a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2\right)$

$\vec{AC} = C - A = \left(a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0\right) = \left(a/2, a\sqrt{3}/2,0\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| \vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} |}{|\vec{SB} \times \vec{AC}|}$

Với $\vec{SA} = A - S = (-a/2, -a\sqrt{3}/6, -a/2)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a/2 & -a\sqrt{3}/6 & -a/2 \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{3}/4, -a^2/4, a^2 \sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB} \times \vec{AC}| = a^2 \sqrt{7}/12$

$\vec{SB} \times \vec{AC} \cdot \vec{SA} = a^3 \sqrt{7}/24$

Vậy:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{7}/24}{a^2 \sqrt{7}/12} = a/2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$d = a/2$

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥ BC, tam giác SBC đều nên SH  ⊥ BC

Mà (SBC)  ⊥ (ABC)

Do đó SH  ⊥ (ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA ⇒  HK ⊥ SA

Ta có  B C ⊥ S H B C ⊥ A H ⇒ B C ⊥ S A H ⇒ B C ⊥ H K

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a ⇒  SH =  a 3 2

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒  AH =  B C 2 = a 2

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao ⇒ 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 A H 2  

HK =  a 3 4

Vậy d(SA; BC) = a 3 4 .

Đáp án C

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\cap\left(SAD\right)=SA\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow AB||\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(AB;SM\right)=d\left(AB;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SM\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||AB\Rightarrow MN\perp AD\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MN\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=a\)

\(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI ⊥ Ax; HK ⊥ SI. 

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI ⊥ (SHI)=> AI ⊥ HK=> HK ⊥ (SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc  S C H ^   =   60 0

Ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy nằm trên $AB$ sao cho $HA = 3 HB$ ⇒ $H = \dfrac{3B + A}{4} = \dfrac{3(a,0,0) + (0,0,0)}{4} = \left(\dfrac{3a}{4},0,0\right)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SC_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SC trên đáy}}$

Chiều dài hình chiếu: $|HC| = \sqrt{(C_x - H_x)^2 + (C_y - H_y)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{3a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{3 a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{13 a^2}{16}} = \dfrac{a \sqrt{13}}{4}$

Vậy $SC_z = \tan 60^\circ \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \dfrac{a \sqrt{39}}{4}$

⇒ $S = (3a/4, 0, a \sqrt{39}/4)$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-3a/4, 0, -a\sqrt{39}/4)$

$\vec{BC} = C - B = \left(a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0\right) = (-a/2, a \sqrt{3}/2, 0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SA$ và $BC$:

$d = \dfrac{| \vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Với $\vec{SB} = B - S = (a - 3a/4,0-0,0 - a\sqrt{39}/4) = (a/4,0,-a\sqrt{39}/4)$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3a/4 & 0 & -a\sqrt{39}/4 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{39}/8, 3 a^2 \sqrt{39}/8, -3 a^2 \sqrt{3}/8)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a^2\sqrt{39}/8)^2 + (3 a^2 \sqrt{39}/8)^2 + (-3 a^2 \sqrt{3}/8)^2} = a^2 \sqrt{195}/8$

Tích có hướng:

$\vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = a^3 \sqrt{195}/16$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{195}/16}{a^2 \sqrt{195}/8} = a/2 \cdot \dfrac{\cancel{\sqrt{195}}}{\cancel{\sqrt{195}}} \cdot \dfrac{1/16}{1/8} = a/2 \cdot 1/2 = a/4$

Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là:

$d = \dfrac{a \sqrt{61}}{4}$ (lấy gần đúng theo phép rút gọn)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow AC=SA=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=a\)

Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow NM||SB\Rightarrow SB||\left(DMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SB\right)=d\left(SB;\left(DMN\right)\right)=d\left(B;\left(DMN\right)\right)\)

Mà M là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(B;\left(DMN\right)\right)=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

Từ A kẻ AH vuông góc DM \(\Rightarrow DM\perp\left(NAH\right)\)

Trong mp (NAH), từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}\)