Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$.

Theo đề: $\dfrac{1}{3} a^2 h = \dfrac{2a^3}{3} \Rightarrow h = 2a$.

Suy ra $S(0,0,2a)$.

Xét mặt phẳng $(SAD)$: $\vec{SA} = (0,0,2a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{AD} = (-2a^2,0,0)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-2a),\ \vec{SD} = (0,a,-2a)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2a^2,2a^2,a^2)$.

Tính: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = -4a^4 \Rightarrow |\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 4a^4$.

$|\vec{n_1}| = 2a^2,\quad |\vec{n_2}| = 3a^2$.

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{4a^4}{2a^2 \cdot 3a^2} = \dfrac{2}{3}$.

Đáp án: B. $\cos\alpha = \dfrac{2}{3}$

Đáp án A

Đặt a> 0 cạnh hình vuông là   Dễ  thấy  

Gọi O là tâm của đáy. Vẽ AH ⊥ SC tại, H, AH cắt SO tại I thì   A I O ^ = φ

Qua I vẽ  đường  thẳng  song  song DB cắt SD, SB theo  thứ  tự  tại K, L. Thiết diện chính là tứ giác

ALHK và tứ giác này có hai đường chéo AH  ⊥ KL Suy ra  

Ta có:  

Theo giả thiết

Giải được

Suy ra  φ = a r c sin 33 + 1 8

Gọi đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$.

Đặt hệ trục tọa độ:
$A\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ B\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$

Vì là chóp tứ giác đều nên:
$S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},-h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $\varphi$, khi đó:

$\sin\varphi = \dfrac{h}{SC}$

với:
$SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + h^2}$

⇒ $\sin\varphi = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Xét mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc $SC$:

Thiết diện là một hình tam giác (do cắt 3 cạnh của hình chóp).

Sau khi dựng hình và tính toán (dùng tích vô hướng để xác định giao tuyến), ta thu được diện tích thiết diện:

$S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Theo đề: $S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} a^2$

Suy ra: $\dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a^2}{2}$

Rút gọn: $\dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = 1$

Nhận thấy vế trái chính là $\sin\varphi$ nên:

$\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra: $\varphi = \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$

So sánh với các đáp án:

Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{3+1}{8}}$

Đáp án C

Ta có, CD song song mặt phẳng (SAB) chứa SA nên khoảng cách giữa SA và CD chính là khoảng cách từ CD đến (SAB).

Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm AB, CD thì: 

Trong đó H là hình chiếu từ K lên SI

Đáp án A.

- Phương pháp:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

+) Tính tan của góc xác định được.

Cách giải:

- Gọi O = AC ∩ BD. Do S.ABCD là chóp đều ⇒ SO ⊥ (ABCD).

- Gọi M là trung điểm của CD ta có: OM là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ OM // BC ⇒ OM ⊥ CD.

- Ta có:

- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SOM ta có:

Đáp án A