Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\) \(\Rightarrow SO\perp BC\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow OM\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SOM\right)\) \(\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SOM\right)\)

Trong tam giác vuông SOM, kẻ \(OH\perp SM\)

Do SM là giao tuyến (SOM) và (SBC) \(\Rightarrow OH\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow CH\) là hình chiếu vuông góc của OC (hay AC) lên (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{OCH}\) là góc giữa AC và (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{OCH}=30^0\)

\(OC=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}\) \(\Rightarrow OH=OC.sin30^0=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{4}{AB^2}\Rightarrow SO=a\)

\(V=\dfrac{1}{3}SO.AB^2=\dfrac{4a^3}{3}\)

Chọn C. 

Gọi M là trung điểm của BC 

Suy ra 

Vì AC = 2a nên 

Đáp án C

Gọi O là tâm đáy ABCD. Khi đó S O ⊥ A B C D

suy ra AO là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy. Khi đó góc giữa cạnh bên SA và đáy là  S A O ^

Suy ra  S A O ^ = 60 °

Vậy thể tích khối chóp là:

V = 1 3 . S O . S A B C D = a 3 6 6

Đáp án A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD.

Khi đó SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Đáp án C.

* Hướng dẫn giải:

Gọi H = A C ∩ B C , hình chóp tứ giác đều S.ABCD

⇒ S H ⊥ ( A B C D )

Dựng hình như bên với OP là đường trung trực của đoạn SD

⇒ SO = OA = OB = OC = OD = R

⇒ R = S O = S D . S P S H = S D 2 2 . S H

Cạnh AC = 2a ⇒ A H = a ⇒ S H = a 3

Đáp án C.

* Hướng dẫn giải:

Gọi H = A C ∩ B C , hình chóp tứ giác đều S.ABCD

⇒ S H ⊥ ( A B C D )

Dựng hình như bên với OP là đường trung trực của đoạn SD

⇒ SO = OA = OB = OC = OD = R

⇒ R = S O = S D . S P S H = S D 2 2 . S H

Ta có  A H ⊥ B D A H ⊥ S H ⇒ A H ⊥ ( S B D )

Cạnh AC = 2a ⇒ AH = a

⇒ S H = a 3 S A = 2 a

Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB.

Do đó: 

Xét tam giác vuông BHC:

Xét tam giác vuông SHC:

Suy ra: 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

Theo định nghĩa: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

Giải ra: $h^2 + \dfrac{5a^2}{4} = 2 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).