a) Theo giả thiết, S.ABCD là hình chóp đều và đáy ABCD là hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) ( tính chất hình chóp đều)

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên

=> Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là 45 o

Do S.ABCD là chóp đều \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Mà BD là giao tuyến (MBD) và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{MOC}\) là góc giữa (MBD) và (ABCD)

\(OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(MC=OM=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(cos\widehat{MOC}=\dfrac{OM^2+OC^2-CM^2}{2OM.OC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MOC}=45^0\)

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\) \(\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=a\) ; \(AM=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a}{2}\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

\(\Rightarrow SA=AC.tan45^0=2a\)

\(AB^2=a^2\) ; \(AM.AC=\dfrac{a}{2}.2a=a^2\Rightarrow AB^2=AM.AC\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{ABC}=90^0\Rightarrow BM\perp AC\)

Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BM\)

\(\Rightarrow BM\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBM\right)\perp\left(SAC\right)\)

s B A D C O M

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là AO nên góc giữa SA và (ABCD) là \(\widehat{SAO}\)

Xét \(\Delta SAO\left(\perp O\right)\) ta có : \(SA=\frac{a\sqrt{5}}{2};AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\)

\(\cos\widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)

c. Xét \(\Delta SOC\) có : \(\begin{cases}SO\perp BD\\OC\perp BD\end{cases}\) nên \(\left(SOC\right)\perp BD\) mà \(OM\subset\left(SOC\right)\Rightarrow OM\perp BD\)

xét : \(\left(MBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD\)

Trong (MBD) có \(OM\perp BD\)

Trong (ABCD) có \(OC\perp BD\)

Vậy góc giữa (MBD) và (ABCD) là \(\widehat{MOC}\)

Ta có : \(\Delta SAC\) đồng dạng với \(\Delta MOC\) (vì \(CM=\frac{1}{2}CS;CO=\frac{1}{2}CA\))nên \(\widehat{MOC}=\widehat{SAC}\)

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{6},0,0),\ D(0,a\sqrt{6},0),\ C(a\sqrt{6},a\sqrt{6},0)$

Vì $(SAD)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt: $S(0,0,h)$

Tính $SC$: $SC^2 = (a\sqrt{6})^2 + (a\sqrt{6})^2 + h^2 = 12a^2 + h^2$

Theo đề: $SC = 4\sqrt{3}a \Rightarrow SC^2 = 48a^2$

$\Rightarrow 12a^2 + h^2 = 48a^2 \Rightarrow h^2 = 36a^2 \Rightarrow h = 6a$ ⇒ $S(0,0,6a)$

Trung điểm $M$ của $SC$: $M\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Xét đường thẳng $BM$:

$\vec{BM} = \left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2} - a\sqrt{6}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2} - 0, 3a - 0\right) = \left(-\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Mặt phẳng $(ACD)$ chính là mặt đáy nên có vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ACD)$:

$\sin \varphi = \dfrac{|\vec{BM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{BM}|} = \dfrac{3a}{\sqrt{\dfrac{6a^2}{4} + \dfrac{6a^2}{4} + 9a^2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{3a^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a}{a\sqrt{12}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $\varphi = 60^\circ$