Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D

a) Ta có A là hình chiếu của A trên (ABC)

G là hình chiếu của S trên (ABC)

\( \Rightarrow \) AG là hình chiếu của SA trên (ABC)

\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AG} \right) = \widehat {SAG}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác SAG vuông tại G có

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)

\(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :b = \sqrt {1 - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}} \)

b) Ta có \(AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)

\(BC \bot AD\) (G là trực tâm)

\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}\end{array}\)

Mà G là trọng tâm nên \(GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác SGD vuông tại G có

\(\tan \widehat {SGD} = \frac{{SG}}{{GD}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{6}{{a\sqrt 3 }}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)

Đáp án C

tham khảo

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(O,O'\) là tâm của hai đáy.Vậy \(AB=2a,A'B'=a,OO'=2a\)

a)Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(CD,C'D'.\)

\(A'B'C'D'\) là hình vuông \(\Rightarrow O'M\perp C'D\)

\(CDD'C\) là hình thang cân \(\Rightarrow MM'\perp C'D'\)

Vậy \(\widehat{MM'O}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ,\(\widehat{M'MO}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

Kẻ \(M'H\perp OM\left(H\in OM\right)\)

\(OMM'O'\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow OH=O'M'=\dfrac{a}{2},OM=a,MH=OM-OH=\dfrac{a}{2}\tan\widehat{M'MO}=\dfrac{M'H}{MH}=4\)

\(\Rightarrow\widehat{M'MO}=75,96^o\Rightarrow\widehat{MM'O'}=180^o-\widehat{M'MO}\\ =104,04^o\)

b)Diện tích đáy lớn là:\(S=AB^2=4a^{^2}\)

Diện tích đáy bé là:\(S'=A'B'^2=a^2\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V_1=\dfrac{1}{3}h\left(S+\sqrt{SS'}+S'\right)\\ =\dfrac{1}{3}.2a\left(4a^2+\sqrt{4a^2.a^2}+a^2\right)=\dfrac{14a^3}{3}\)

Thể tích hình trụ rỗng là:\(V_2=\pi R^2h=\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2.2a=\dfrac{\pi a^3}{2}\)

Thể tích chân cột là:\(V=V_1-V_2=\left(\dfrac{14}{3}-\dfrac{\pi}{2}\right)a^3\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì S, ABCD là hình chóp tứ giác đều nên

Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mp(ABCD) là điểm O nên góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là góc SBO.

Ta có:  B D ​ = a 2 ;    B O =   1 2 B D ​ =    a 2

Lại có: S B 2   +   S D 2     =   B D 2   =   2 a 2 nên tam giác SBD vuông cân tại S.  ⇒ S B O ^ =    45 0

Đáp án C

Chọn C.

+) Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao SH. Trong đó, H là tâm của hình vuông ABCD.

+) Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

- Tam giác HCD cân tại H (HC = HD = AC/2 = BD/2)

   có HM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: HM ⊥ CD.

+) Ta có : SC = SD = CD = a nên tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến:

- Trong tam giác vuông SHM vuông tại H có:

Chọn B

Lời giải. Để cho gọn ta chọn a=1

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A(0;0;0) và B(1;0;0) , D(0; 3 ;0)

Suy ra C(1; 3 ;0)

VTPT của mặt phẳng (SBC) là 

Đường thẳng  có VTCP là

Khi đó 

Đáp án A

Đặt a> 0 cạnh hình vuông là   Dễ  thấy  

Gọi O là tâm của đáy. Vẽ AH ⊥ SC tại, H, AH cắt SO tại I thì   A I O ^ = φ

Qua I vẽ  đường  thẳng  song  song DB cắt SD, SB theo  thứ  tự  tại K, L. Thiết diện chính là tứ giác

ALHK và tứ giác này có hai đường chéo AH  ⊥ KL Suy ra  

Ta có:  

Theo giả thiết

Giải được

Suy ra  φ = a r c sin 33 + 1 8

Gọi đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$.

Đặt hệ trục tọa độ:
$A\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ B\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$

Vì là chóp tứ giác đều nên:
$S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},-h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $\varphi$, khi đó:

$\sin\varphi = \dfrac{h}{SC}$

với:
$SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + h^2}$

⇒ $\sin\varphi = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Xét mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc $SC$:

Thiết diện là một hình tam giác (do cắt 3 cạnh của hình chóp).

Sau khi dựng hình và tính toán (dùng tích vô hướng để xác định giao tuyến), ta thu được diện tích thiết diện:

$S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Theo đề: $S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} a^2$

Suy ra: $\dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a^2}{2}$

Rút gọn: $\dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = 1$

Nhận thấy vế trái chính là $\sin\varphi$ nên:

$\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra: $\varphi = \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$

So sánh với các đáp án:

Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{3+1}{8}}$