Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh:

$SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

$\Rightarrow V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là R = \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Diện tích mặt cầu cần tìm là S = 4\(\pi\)R² = (a²+b²+c²)\(\pi\).

Thể tích khối cầu cần tìm là V = 4/3.\(\pi\)R³ = \(\dfrac{\pi}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2}^3\).

Chọn D

Thể tích khối chóp S. ABC là:

Do SA=AB=AC=a nên các tam giác SAC, SAB cân tại A.

Theo đề bài M, N là hình chiếu của A trên SB, SC nên M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.

Khi đó: 

Vậy thể tích khối chóp A. BCNM là:

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn: $V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$ $=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a$ $=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3$

Tính cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{a^2+a^2} =a\sqrt2$

$SC=a\sqrt2$

Vì $M,N$ là hình chiếu nên: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$ $=\dfrac{a^2}{2a^2} =\dfrac12$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac12\right)^2 =\dfrac14$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt3}{12}a^3 =\dfrac{\sqrt3}{48}a^3$

Khối cần tìm: $V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3-\dfrac{\sqrt3}{48}a^3$

$=\dfrac{\sqrt3}{16}a^3$