Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật

=> AB//CD  nên

Xét tam giác vuông SAD có 

Chọn C. 

Đáp án D

Đáp án D

Đáp án C

Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên  1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 AH 2 = 4 3 a 2 + 4 a 2 = 16 3 a 2 .

⇒ HK = 3 a 4 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0)$

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt mặt phẳng $(SBC)$ là mặt phẳng $Oxy$, khi đó:

$S\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (tam giác đều $SBC$ cạnh $a$)

Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $(SBC)$ theo giao tuyến $BC$ nên đặt:

$A(0,0,h)$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{AB} = (0,0,-h),\ \vec{AC} = (a,0,-h)$

$\Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $A(0,0,a)$

Xét hai đường thẳng:

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}]|}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \left(0,\ -a^2,\ -\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = a^2 \sqrt{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$

$[\vec{BA}, \vec{SA}, \vec{BC}] = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Chọn A

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0),\ A(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a\sqrt3$ nên:

$S(0,a,a\sqrt3)$.

Trung điểm $M$ của $AC$ là:

$M\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$.

Mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình:

$x=0$.

Suy ra vectơ pháp tuyến:

$\vec n_1=(1,0,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBM)$:

$\vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$,

$\vec{SM}=\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,-a\sqrt3\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBM)$:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{SM}$

$=\left(\dfrac{\sqrt3 a^2}{2},-\dfrac{\sqrt3 a^2}{2},\dfrac{a^2}{2}\right)$.

Có thể lấy:

$\vec n_2=(\sqrt3,-\sqrt3,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{3+3+1}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}$.

Suy ra:

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac37}=\dfrac2{\sqrt7}$.

Do đó:

$\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt3/\sqrt7}{2/\sqrt7}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Vậy:

$\boxed{\cot\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}}$.

Chọn đáp án A.

Chọn A.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a,0,0),\ A(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a\sqrt3$ nên:

$S(0,a,a\sqrt3)$.

Trung điểm $M$ của $AC$ là:

$M\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$.

Mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình:

$x=0$.

Suy ra vectơ pháp tuyến của $(SAB)$ là:

$\vec n_1=(1,0,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBM)$:

$\vec{SB}=(0,-a,-a\sqrt3)$,

$\vec{SM}=\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,-a\sqrt3\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBM)$:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{SM}=\left(\dfrac{\sqrt3 a^2}{2},-\dfrac{\sqrt3 a^2}{2},\dfrac{a^2}{2}\right)$.

Có thể lấy:

$\vec n_2=(\sqrt3,-\sqrt3,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}$.

Suy ra:

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac37}=\dfrac2{\sqrt7}$.

Do đó:

$\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt3/\sqrt7}{2/\sqrt7}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Vậy:

$\boxed{\cot\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}}$.

Chọn đáp án A.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:

$S(a,0,3a)$.

Ta có:

$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(2,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến là:

$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.

Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.

Vậy:

$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.

Chọn đáp án D.