Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:

- Đường kính: $AB = a$

- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Đáp án B

Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.

⇒ IA=IB=IC=IH=IK

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.

Suy ra bán kính R= a 2 2

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$

Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.

Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$

=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$

Xét tứ diện $A.HKB$.

Ta có:

$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$

$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$

Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$

Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Do đó:

- Đường kính mặt cầu: $AB = a$

- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$

$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$

$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$

Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$

$\widehat{AKB}=90^\circ$

Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.

Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh:

$SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

$\Rightarrow V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Đáp án A

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính các cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,SC$ nên:

$\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

Suy ra tỉ số thể tích:

$\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Khối cần tìm:

$V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

$=\dfrac{9\sqrt3}{50}a^3$

Vì $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{a^2+(2a)^2}$ $=a\sqrt5$

Xét tam giác vuông $SAB$:

$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}$ $=a\sqrt2$

Xét tam giác vuông $SAC$:

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$ $=\sqrt{a^2+5a^2}$ $=a\sqrt6$

$M$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AM\perp SB$

$N$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AN\perp SC$

Suy ra $MN\parallel BC$.

Ta có tỉ số đồng dạng: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$

$=\dfrac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt6} =\dfrac{1}{2\sqrt3}$

Thể tích khối chóp:

$V_{S.AMN} =V_{S.ABC}\left(\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}\right)^2$

Thể tích $S.ABC$:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC =\dfrac12\cdot a\cdot2a =a^2$

⇒ $V_{S.ABC} =\dfrac13 a^2\cdot a =\dfrac{a^3}{3}$

Suy ra: $V_{S.AMN} =\dfrac{a^3}{3}\left(\dfrac{1}{2\sqrt3}\right)^2$ $=\dfrac{a^3}{3}\cdot\dfrac{1}{12}$ $=\dfrac{a^3}{36}$

Phương pháp:

Tính thể tích  V S . A B C

Tính thể tích  V S . A M N  theo công thức tỉ lệ thể tích

Tính thể tích  V A . B C M N  và suy ra kết luận

Cách giải:

Xét tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông là a và 2a nên

Tam giác SAB vuông tại có đường cao AM

Khi đó  

Tương tự 

Lại có 

Mặt khác 

Do đó

Chọn C.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$ $=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a =\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính cạnh: $SB=SC=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC} =\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

=> $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Thể tích cần tìm: $V_{A.BCMN} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$ $=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3 =\dfrac{3\sqrt3}{50}a^3$

Tính: $\dfrac{50V}{\sqrt3 a^3} =\dfrac{50\cdot \frac{3\sqrt3}{50}a^3}{\sqrt3 a^3} =3$

Chọn D

Thể tích khối chóp S. ABC là:

Do SA=AB=AC=a nên các tam giác SAC, SAB cân tại A.

Theo đề bài M, N là hình chiếu của A trên SB, SC nên M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.

Khi đó: 

Vậy thể tích khối chóp A. BCNM là:

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn: $V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$ $=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a$ $=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3$

Tính cạnh: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{a^2+a^2} =a\sqrt2$

$SC=a\sqrt2$

Vì $M,N$ là hình chiếu nên: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC}$ $=\dfrac{a^2}{2a^2} =\dfrac12$

Suy ra: $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac12\right)^2 =\dfrac14$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt3}{12}a^3 =\dfrac{\sqrt3}{48}a^3$

Khối cần tìm: $V_{A.BCNM} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$

$=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3-\dfrac{\sqrt3}{48}a^3$

$=\dfrac{\sqrt3}{16}a^3$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=2a$

$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên: $AH\perp SB$

⇒ $\widehat{AHB}=90^\circ$

$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên: $AK\perp SC$

⇒ $\widehat{AKC}=90^\circ$

Suy ra các điểm $A,H,K,C,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AC$.

Tính $AC$: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}$ $=2a\sqrt2$

Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt2$

Thể tích khối cầu:

$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi(a\sqrt2)^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\cdot2\sqrt2,a^3$ $=\dfrac{8\sqrt2}{3}\pi a^3$