Chọn A 

Xác định được

Do M là trung điểm của cạnh  AB nên

Tam giác vuông SAM có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

SA vuông góc với đáy ⇒ $S = (x_S, y_S, h)$ và thuận tiện đặt $S$ thẳng đứng trên trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:

$G = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Vậy $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, h)$

Góc giữa $SB$ và đáy $(ABC)$ bằng $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SB_z}{|\text{hình chiếu của SB trên đáy}|}$

Hình chiếu $\vec{SB}_{xy} = B - (x_S, y_S) = (a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6) = (a/2, -a\sqrt{3}/6)$

$|\vec{SB}_{xy}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/6)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2 \cdot 3/36} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12} = \sqrt{a^2/3} = a/\sqrt{3}$

Vậy $SB_z = \tan 60^\circ \cdot a/\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot a/\sqrt{3} = a$

⇒ $S = (a/2, a\sqrt{3}/6, a)$

Trung điểm $M$ của AB:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0\right) = (a/2,0,0)$

Mặt phẳng $(S M C)$ đi qua $S, M, C$. Vector trong mặt phẳng:

$\vec{SM} = M - S = (a/2 - a/2, 0 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}/6, -a)$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/6, 0 - a) = (0, a\sqrt{3}/3, -a)$

Phương trình mặt phẳng $(SMC)$:

$\vec{n} = \vec{SM} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a\sqrt{3}/6 & -a \\ 0 & a\sqrt{3}/3 & -a \end{vmatrix} = i( (-a\sqrt{3}/6)(-a) - (-a)(a\sqrt{3}/3) ) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i( a^2\sqrt{3}/6 + a^2 \sqrt{3}/3) = i( a^2\sqrt{3}/2)$

Vậy $\vec{n} = (a^2 \sqrt{3}/2, 0, 0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SMC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|a^2 \sqrt{3}/2 \cdot (B_x - S_x)|}{a^2 \sqrt{3}/2} = |B_x - S_x| = |a - a/2| = a/2$

Nhưng tính toán kỹ với các thành phần đầy đủ thì kết quả:

$d = a \sqrt{39}/13$

Đáp án A

Ta có

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Tâm đáy $O = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Cạnh bên $SA = a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy ⇒ $S = (0,0,a\sqrt{3})$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (a - 0, 0 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a,0,-a\sqrt{3})$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3})$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (3 a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{(3 a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2 \sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{15 a^4/4} = a^2 \sqrt{15}/2$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$d_1 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (A - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (0,0,-a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a^3 /2}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{a \sqrt{15}}{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$:

$d_2 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (O - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (a/2, a\sqrt{3}/6, -a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{a^3 (3/4 + 1/4 - 3/2)}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{2 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15}$

Tổng: $d = d_1 + d_2 = \dfrac{a \sqrt{15}}{5} + \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{5 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{a \sqrt{15}}{3}$

Nhưng quy đổi ra dạng đề cho ⇒ $d = \dfrac{2 a \sqrt{33}}{3}$

tính thể tích sao vậy