Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA$

Theo đề bài:

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot SA = a^3$

=> $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot SA = a^3$

$SA = \dfrac{12a^3}{a^2\sqrt{3}} = \dfrac{12a}{\sqrt{3}} = 4a\sqrt{3}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ thỏa mãn:

$d = SA \cdot \sin \widehat{(SA,(SBC))}$

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ chính là góc giữa $AH$ và $SA$, với $H$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:

$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$:

$\sin \widehat{(SA,(SBC))} = \dfrac{AH}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{4a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{8}$

=> $d = SA \cdot \dfrac{1}{8} = 4a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\boxed{d = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Chọn B

Gọi E là trung điểm BC, F là chân đường cao của A trên SE.

Có 

Có 

Tam giác SAE vuông nên

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến SM. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH. Ta có:

Tam giác $SBC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là chân đường cao của tam giác đều $SBC$ hạ xuống $BC$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $30^\circ$

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông tạo bởi $SA, AH, SH$:

$SH^2 = SA^2 + AH^2$

$\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{AH}{\sqrt{3}}\right)^2 + AH^2$

$\dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{AH^2}{3} + AH^2 = \dfrac{4}{3}AH^2$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}$

Suy ra:

$SA = \dfrac{AH}{\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a^2}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3a^2}{8}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{32}$

Chọn B

a)

+ Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)

⇒ AH là hình chiếu của SA trên (ABC)

Gọi E là trung điểm BC

H là tâm của Δ đều ABC.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:
$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

S H = S A 2 - A H 2 = a

Thể tích khối chóp S.ABC là:

⇒ Thể tích khối chóp S.DBC là:

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.