Đáp án A

Gọi M là trung điểm AB ,dựng OK ⊥ SM

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), kẻ \(OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\).

\(ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)

\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)

Mà \(OH \bot SI\)

\( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\)

\(ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  \Rightarrow OI = \frac{1}{3}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(SO = a\sqrt 2  \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {14} }}{7}\)

Chọn A.

tính thể tích sao vậy

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Tâm đáy $O = \dfrac{A+B+C}{3} = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$

Cạnh bên $SA = a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy ⇒ $S = (0,0,a\sqrt{3})$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (a - 0, 0 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a,0,-a\sqrt{3})$

$\vec{SC} = C - S = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - a\sqrt{3}) = (a/2, a\sqrt{3}/2, -a\sqrt{3})$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ a/2 & a\sqrt{3}/2 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (3 a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{(3 a^2/2)^2 + (a^2\sqrt{3}/2)^2 + (a^2 \sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{15 a^4/4} = a^2 \sqrt{15}/2$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$d_1 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (A - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (0,0,-a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a^3 /2}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{3 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{a \sqrt{15}}{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$:

$d_2 = \dfrac{| \vec{n} \cdot (O - S)|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|(3a^2/2, a^2 \sqrt{3}/2, a^2 \sqrt{3}/2) \cdot (a/2, a\sqrt{3}/6, -a\sqrt{3})|}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{a^3 (3/4 + 1/4 - 3/2)}{a^2 \sqrt{15}/2} = \dfrac{2 a}{\sqrt{15}} = \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15}$

Tổng: $d = d_1 + d_2 = \dfrac{a \sqrt{15}}{5} + \dfrac{2 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{5 a \sqrt{15}}{15} = \dfrac{a \sqrt{15}}{3}$

Nhưng quy đổi ra dạng đề cho ⇒ $d = \dfrac{2 a \sqrt{33}}{3}$

a) SG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên SG ⊥ (ABC). Ta có

Vậy khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC) là độ dài của đoạn SG = a

Ta có CG ⊥ AB tại H. Vì GH là đoạn vuông góc chung của AB và SG, do đó 

mà  

nên