​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

x s K A N B H D C

Ta có : \(\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). 

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

Gọi D là trung điểm cạnh AB. Ta có :

\(HD=\frac{a}{6}\), CD= \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(HC=\sqrt{HD^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{7}}{3}\)

\(SH=HC.\tan60^0=\frac{a\sqrt{21}}{3}\)

\(V_{s.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{7}}{12}\)

Kẻ Ax song song với BC, gọi N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN) và \(BA=\frac{3}{2}HA\)

Nên \(d\left(SA.BC\right)=d\left(B,\left(SAN\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H.\left(SAN\right)\right)\)

\(AH=\frac{2a}{3}\); \(HN=AH.\sin60^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(HK=\frac{SH.HN}{\sqrt{SH^2+HN^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{12}\)

Vậy \(d\left(SA.BC\right)=\frac{a\sqrt{42}}{8}\)

Góc 60 là góc SCH. Dễ dàng tính được V
Trong (ABC), kẻ At // BC, Cz//AB, giao At=N
d(sa,bc)=d(bc, (SAN))=d(B, (SAN))=3/2 d(H, (SAN)).
Từ H kẻ HE vuông AN
 Trong (SHE) kẻ HF vuông SE
=> d(H(SAN))=HF

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên

$SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó trong tam giác đều: $SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên $SH \perp (ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$

Mà $BC = a$

Trong tam giác vuông cân:

$AB = AC = \dfrac{a}{\sqrt2}$

Ta có:

$AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$ (vì $SH \perp (ABC)$ nên $SH \perp AH$):

$SA^2 = SH^2 + AH^2$

$= \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}$

$= a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng:

$d = \dfrac{2V_{SABC}}{SA \cdot BC}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC = \dfrac12 \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{a^2}{4}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

=> $d = \dfrac{2V}{SA \cdot BC} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a \cdot a} = \dfrac{a\sqrt3}{12} \cdot 2 = \dfrac{a\sqrt6}{6}$

Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

Đáp án C

Vì $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt3}{12}\cdot2 =\dfrac{a\sqrt3}{6} =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Chọn B

Chọn B