Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C.
Ta có SAD là tam giác đều nên S H ⊥ A D
Mặt khác S A D ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D .
Dựng B E ⊥ H C ,
do B E ⊥ S H ⇒ B E ⊥ S H C
Do đó d = B E = 2 a 6 ; S H = a 3 ; A D = 2 a
Do S C = a 15 ⇒ H C = S C 2 − S H 2 = 2 a 3 .
Do S A H B + S C H D = 1 2 a A B + C D = S A B C D 2
suy ra V S . A B C D = 2 V S . H B C = 2 3 . S H . S B C H
= 3 2 a 3 . B E . C H 2 = 4 a 3 6 .
Đáp án C
Tam giác SAD đều cạnh 2 a ⇒ S H = a 3 ⇒ H C − 2 a 3 .
Kẻ BK vuông góc H C ⇒ B K ⊥ S H C ⇒ B K − 2 a 6
Diện tích tam giác BHC là S Δ B H C = 1 2 B K . H C = 6 a 2 2
Mà S A B C D = S Δ H A B + S Δ H C D + S Δ H B C = 1 2 S A B C D + S Δ H B C ⇒ S A B C D = 2 x S Δ H B C = 12 a 2 2
V S . A B C D = 1 3 . S H . S Δ H B C = 1 3 . a 3 .12 a 2 2 = 4 6 a 3
Đáp án A
Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
Kẻ IH
⊥
CD ta có: 
Ta có: 
Gọi E là trung điểm của AB => EC = AD = 2a
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy nên $SH$ là đường cao của hình chóp.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$
Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$
Chiều cao:
$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$
Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa đường $SH$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy.
Vì $SH \perp (ABCD)$, ta có góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.
Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$
Trung điểm $M$ của $AD$ là:
$M = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0 \right) = (0,a,0)$
Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$
Vector chỉ phương:
$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\quad \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$
Vector pháp tuyến:
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a^2, a^2, 2a^2)$
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$2(x-0) + 1(y-0) + 2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$
Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:
$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a-2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$
Đáp án C
Gọi M là trung điểm cuả AD. Ta có: B C = A M = a và B C / / A M
nên tứ giác ABCM là hình bình hành
⇒ C M = A B = a ⇒ Δ C D M đều. Gọi K là hình chiếu của C lên AD.
Ta có: C K = a 2 − a 2 2 = a 3 2 .
Diện tích hình thang ABCD là: S = a + 2 a . a 3 2 2 = 3 a 2 3 4
+) Lại có:
H D = 3 2 .2 a = 3 a 2 ⇒ S H = 3 a 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 . 3 a 2 3 4 = 3 a 3 3 8 .
Đáp án D
Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:
(SKH) ⊥ BD => Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 600
Lại có: 
Do đó 
Vậy 
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.
Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$
$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.
Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.
$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$