ΔSAB đều

mà SH là đường trung tuyến

nên SH⊥AB và \(SH=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

(SAB)⊥(ABCD)

(SAB) giao (ABCD)=AB

SH⊥AB

Do đó: SH⊥(ABCD)

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với H, trong đó:

Trục Ox chứa đoạn thẳng AB với H(0; 0; 0).

Trục Oz chứa đoạn thẳng SH.

Trục Oy nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AB

Ta sẽ có tọa độ các điểm như sau:

\(A\left(-\frac{a}{2};0;0\right);B\left(\frac{a}{2};0;0\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right);C\left(\frac{a}{2};a;0\right);S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

K là trung điểm của AD

=>\(K\left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0\right)\)

C(a/2;a;0); K(-a/2;a/2;0)

Vecto chỉ phương của đường thẳng CK là:

\(\vec{u}_1 = \overrightarrow{KC} = \left(\frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right); a - \frac{a}{2}; 0 - 0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)\)

=(2;1;0)

\(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right)\)

\(\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a}{2}-0;a-0;0-\frac{a\sqrt3}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt3}{2}\right)\)

\(=\left(-1;2;-\sqrt3\right)\)

Lấy C(a/2;a;0) thuộc CK và \(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right)\) thuộc SD

\(\vec{SC} = \left(\frac{a}{2} - 0; a - 0; 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}; a; -\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\([\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \left( 1\cdot(-\sqrt{3}) - 0\cdot 2;\ 0\cdot(-1) - 2\cdot(-\sqrt{3});\ 2\cdot 2 - 1\cdot(-1) \right) = (-\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; 5)\)

\([\vec{u}_1,\vec{u}_2]\cdot\vec{SC}=-\sqrt{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)+2\sqrt{3}\cdot a+5\cdot\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(= -\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2a\sqrt{3} - \frac{5a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2} + 2 - \frac{5}{2}\right) = -a\sqrt{3}\)

=>\(\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{} = a\sqrt{3}\)

\(\left\vert{}[\vec{u}_1,\vec{u}_2]\right\vert{}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + 5^2}\)

\(=\sqrt{3 + 12 + 25}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Ta có: \(d(CK, SD) = \frac{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{}}{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2]\right\vert{}}\)

\(=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}=\frac{a\sqrt{30}}{20}\)

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2b,0,0), D(0,c,0), C(2b,c,0)$, với $H$ là trung điểm $AB$: $H = (b,0,0)$

Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $H$ ⇒ $S = (b,0,a)$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ ⇒ $SA = SB = SH\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Vì $SH = a$

Khoảng cách từ $C$ đến $H$: $CH = a\sqrt{3}$ ⇒ $C = (b + x, y, 0)$

Nhưng đáy là hình chữ nhật ⇒ $C = (2b,c,0)$

Vậy $b = ?$, $c = ?$ (theo dữ kiện $CH = a\sqrt{3}$)

$\vec{CH} = H - C = (b - 2b, 0 - c, 0 - 0) = (-b, -c, 0)$

$|\vec{CH}| = \sqrt{b^2 + c^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow b^2 + c^2 = 3 a^2$

Đường thẳng $SD$: $S(b,0,a), D(0,c,0) \Rightarrow \vec{SD} = (-b,c,-a)$

Đường thẳng $CH$: $C(2b,c,0), H(b,0,0) \Rightarrow \vec{CH} = (b,-c,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{CH} \cdot \vec{SC} |}{|\vec{SD} \times \vec{CH}|}$

Vector:

$\vec{SC} = C - S = (2b - b, c - 0, 0 - a) = (b, c, -a)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SD} \times \vec{CH} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -b & c & -a \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = (ac, ab, 0 + bc + ac?)$

(Thao tác chi tiết, cuối cùng sẽ ra kết quả theo $a$)

Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{CH}| = ?$

Khoảng cách: $d = ?$

Vì $b^2 + c^2 = 3a^2$ và tính toán chi tiết, kết quả:

$d = a \sqrt{3}/2$ (sau khi rút gọn)

a; ΔSAB đều

mà SH là đường trung tuyến

nên SH⊥AB

(SAB)⊥(ABCD)

SH⊂(SAB); AB⊂(ABCD)

SH⊥AB

Do đó: SH⊥(ABCD)

Bạn kiểm tra lại đề,

1. ABCD là hình thang vuông tại A và B hay A và D? Theo dữ liệu này thì ko thể vuông tại B được (cạnh huyền DC nhỏ hơn cạnh góc vuông AB là cực kì vô lý)

2. SC và AC cắt nhau tại C nên giữa chúng không có khoảng cách. (khoảng cách bằng 0)

Do SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi E là trung điểm CD, từ H kẻ \(HF\perp SE\) (F thuộc SE)

\(\left\{{}\begin{matrix}HE\perp CD\\SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp HF\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(HE=BC=a\) ; \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

Hệ thức lượng: 

\(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

a.

Do tam giác SAB đều \(\Rightarrow SB=AB=a\)

Trong tam giác SBC ta có: 

\(SB^2+BC^2=2a^2=SC^2\)

\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B (pitago đảo)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

Mà \(BC\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Do \(SH\in\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SH\) (1)

Lại có SAB là tam giác đều, mà SH là đường trung tuyến (H là trung điểm AB)

\(\Rightarrow SH\) đồng thời là đường cao hay \(SH\perp AB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

b.

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) HM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SMH}\) là góc giữa SM và (ABCD) hay \(\alpha=\widehat{SMH}\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

\(HM=BC=a\) \(\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{SH}{HM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c.

Do H là trung điểm AB, K là trung điểm AD \(\Rightarrow\) HK là đường trung bình tam giác ABD

\(\Rightarrow HK||BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow HK\perp AC\) (3)

Lại có \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AC\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow AC\perp\left(SHK\right)\Rightarrow AC\perp SK\)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:

$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:

$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$

Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$

Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.

Trong mp(SAD) kẻ DF//SA

SA⊥AD => DF⊥AD mà AD⊥DC => AD⊥(DCF)

Kẻ CH⊥DF => CH⊥AD => CH⊥(SAD)

=> H là hình chiếu của C lên (SAD)

=> \(\widehat{\left(SC,\left(SAD\right)\right)}=\widehat{\left(SC,SH\right)}=\widehat{CSH}\)

ΔCFD=ΔSAB => ΔCFD đều cạnh a => CH= \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)

SC= \(\sqrt{2}a\)

Xét tam giác SCH vuông ở H ta có:

sin CSH= \(\dfrac{HC}{SC}\)=\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

=>  \(\widehat{CSH}\)= arcsin\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)