a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$