Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S = (0,0,2a)$.

Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM = x$, $0 < x < a$: $M = (x,0,0)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ có phương trình: $x = x$.

a. Tìm thiết diện

Thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng $x=x$ với các cạnh của chóp:

- Giao với $AB$: $Q = (x,0,0)$

- Giao với $SB$: Vector $SB = B-S = (a,0,-2a)$, tham số $t$: $S + t SB = (0,0,2a) + t(a,0,-2a) = (at,0,2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $z = 2a - 2x$, nên giao điểm $P = (x,0,2a-2x)$

- Giao với $SC$: Vector $SC = C-S = (a,2a,-2a)$, tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t(a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $y = 2x$, $z = 2a - 2x$. Do hình thang vuông nên $y$ tối đa là $2a$ ⇒ lấy $R = (x,2a,0)$

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P = (x,0,2a-2x)$, $Q = (x,0,0)$, $R = (x,2a,0)$.

b. Tính diện tích thiết diện

Vector $\vec{PQ} = Q-P = (0,0,0-(2a-2x)) = (0,0,2x-2a)$

Vector $\vec{PR} = R-P = (0,2a,0-(2a-2x)) = (0,2a,2x-2a)$

Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$

Tích có hướng:

$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (-4a(a-x), 0, 0)$

Độ lớn: $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = 4a(a-x)$

Vậy diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 a (a-x) = 2 a (a-x)$

a) (P) // BC nên (P) sẽ cắt (SBC) theo giao tuyến B'C' song song với BC.

Tương tự, (P) cắt (SAD) theo giao tuyến MN song song với AD.

Khi M trùng với trung điểm A' của cạnh SA thì thiết diện MB'C'N' là hình bình hành.

b) Với M không trùng với A':

Gọi I ∈ B′M ∩ C′N. Ta có:

I ∈ B′M ⊂ (SAB), tương tự I′ ∈ C′N ⊂ (SCD)

Như vậy I ∈ Δ = (SAB) ∩ (SCD).

a) Trường hợp 1 .

I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Khi đó I ở vị trí I1

Ta có: (α) // (SBD)

Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M1N1 ( qua I1) song song với BD

Tương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyến

S1T1 song song với SO.

Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S1M1N1.

Nhận xét. Dễ thấy rằng S 1 M 1   / /   S B   v à   S 1 N 1   / /   S D . Lúc đó tam giác S1M1N1 đều.

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Khi đó I ở vị trí I2. Tương tự như trường hợp 1 ta có thiết diện là tam giác đều

S 2 M 2 N 2   c ó   M 2 N 2   / /   B D , S 2 M 2   / /   S B ,   S 2 N 2   / /   S D .

Trường hợp 3. I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.

b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1,2,3.

Trường hợp 1. I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)

Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)

Trường hợp 3. I ≡ O.

Tóm lại

∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:

Vậy Sthiết diện lớn nhất khi và chỉ khi x = a/2.