Đáp án D

AC cắt (SBC) tại C , O là trung điểm AC =>khoảng cách 

* Trong (ABCD) dựng OH ⊥ BC, trong  (SOH) dựng OK  ⊥ SH ta chứng minh được OK  ⊥ (SBC)

=> khoảng cách  d(O,(SBC))= OK.

∆ O B C vuông tại O có OH đường cao

∆ S O H  vuông tại O có OK đường cao 

Vậy 

AB//CD
=>AB//(SCD)

=>d(AB;SC)=d(AB;(SCD))=d(B;(SCD))

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>AB=AD=BD=a

O là trung điểm của BD

=>\(OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\)

H là trung điểm của OB

=>\(OH=HB=\frac{OB}{2}=\frac{a}{4}\)

HD=HO+OD=a/4+a/2=3a/4

TA có: \(\frac{d\left(B;\left(SCD\right)\right)}{d\left(H;\left(SCD\right)\right)}=\frac{BD}{HD}=\frac43\)

=>\(d\left(B;\left(SCD_{}\right)\right)=\frac43\cdot d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

Kẻ HK⊥CD tại K

CD⊥ SH

CD⊥HK

Do đó: CD⊥(SHK)

=>(SCD)⊥(SHK)

Trong mp(SHK), kẻ HI⊥SK tại I

=>HI⊥(SCD)

=>d(H;(SCD))=HI

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ADC}+\hat{BAD}=180^0\)

=>\(\hat{ADC}=180^0-60^0=120^0\)

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=60^0\)

=>\(\hat{HDK}=60^0\)

Xét ΔKHD vuông tại K có sin HDK=HK/HD

=>\(HK=HD\cdot\sin60=\frac{3a}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\cdot\frac{a}{8}\)

Xét ΔHSK vuông tại H có HI là đường cao

nên \(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(3\sqrt3\cdot\frac{a}{8}\right)^2}=\frac{100}{27a^2}\)

=>\(HI^2=\frac{27a^2}{100}\)

=>\(HI=\frac{3a\sqrt3}{10}\)

=>d(AB;SC)=\(\frac43\cdot HI=\frac43\cdot\frac{3a\sqrt3}{10}=\frac{4a\sqrt3}{10}=\frac{2a\sqrt3}{5}\)

Gọi G là trọng tâm SBC và M là trung điểm BC

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}SM\Rightarrow d\left(G;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}SA=\dfrac{a}{3}\)

em cảm ơn thầy