AB//CD
=>AB//(SCD)

=>d(AB;SC)=d(AB;(SCD))=d(B;(SCD))

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>AB=AD=BD=a

O là trung điểm của BD

=>\(OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\)

H là trung điểm của OB

=>\(OH=HB=\frac{OB}{2}=\frac{a}{4}\)

HD=HO+OD=a/4+a/2=3a/4

TA có: \(\frac{d\left(B;\left(SCD\right)\right)}{d\left(H;\left(SCD\right)\right)}=\frac{BD}{HD}=\frac43\)

=>\(d\left(B;\left(SCD_{}\right)\right)=\frac43\cdot d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

Kẻ HK⊥CD tại K

CD⊥ SH

CD⊥HK

Do đó: CD⊥(SHK)

=>(SCD)⊥(SHK)

Trong mp(SHK), kẻ HI⊥SK tại I

=>HI⊥(SCD)

=>d(H;(SCD))=HI

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ADC}+\hat{BAD}=180^0\)

=>\(\hat{ADC}=180^0-60^0=120^0\)

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=60^0\)

=>\(\hat{HDK}=60^0\)

Xét ΔKHD vuông tại K có sin HDK=HK/HD

=>\(HK=HD\cdot\sin60=\frac{3a}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\cdot\frac{a}{8}\)

Xét ΔHSK vuông tại H có HI là đường cao

nên \(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(3\sqrt3\cdot\frac{a}{8}\right)^2}=\frac{100}{27a^2}\)

=>\(HI^2=\frac{27a^2}{100}\)

=>\(HI=\frac{3a\sqrt3}{10}\)

=>d(AB;SC)=\(\frac43\cdot HI=\frac43\cdot\frac{3a\sqrt3}{10}=\frac{4a\sqrt3}{10}=\frac{2a\sqrt3}{5}\)

Đề bài sai. (SAD) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, thế thì ta sẽ có là hình thoi ACBD, vô lý

xin lỗi mình chép thiếu đề H là trung điểm AB và SH bằng a và vuông góc với đáy

Chắc đề là \(SM=a\sqrt{3}\) vì không có điểm H nào trong dữ liệu

\(BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=a\sqrt{2}\)

a.

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt CD tại E

\(\Rightarrow CD\perp ME\Rightarrow CD\perp\left(SME\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

Áp dụng định lý talet trong tam giác BCD:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EM=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEM}=\dfrac{SM}{EM}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\approx58^031'\)

b.

\(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;AD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Lại có: BM cắt (SAD) tại D, mà \(BD=\dfrac{4}{3}MD\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{4}{3}d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ M kẻ \(MH\perp AD\)

Trong mp (SMH), từ M kẻ \(MK\perp SH\)

\(\Rightarrow MK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MK=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Talet cho tam giác ABD:

\(\dfrac{MH}{AB}=\dfrac{MD}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MH=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3a}{4}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH:

\(MK=\dfrac{SM.MH}{\sqrt{SM^2+MH^2}}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}\)

\(\Rightarrow d\left(SD;BC\right)=\dfrac{4}{3}MK=\dfrac{4\sqrt{19}}{19}\)