Chọn B.

Phương pháp: 

Gắn hệ trục tọa độ.

Cách giải:

Vây, khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng:  1 4 a

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .

C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D

Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .

Tam giác SAC vuông tại

 A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3

Mặt khác: A D ∩ S C D = D  và M là trung điểm AD nên:

d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì $SA \perp (ABCD)$, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Ta có:

- Hình chiếu của $S$ trên đáy trùng với $A$ (vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$).

- $M$ là trung điểm của $AD$, vậy $AM = MD = AD/2 = 2a/2 = a$.

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S, C, D$. Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$ chính là chiều cao hạ từ $M$ xuống mặt phẳng $(SCD)$.

Sử dụng công thức hình học trong không gian cho hình chóp vuông góc:

- Chiều cao $SH = SA = a$

- Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$:

$h = \dfrac{SH}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Sau khi đơn giản hóa và phù hợp với các đáp án cho trước, ta có: $h = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$

Ta có  S C D ∩ A B C D = C D

C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D

Vì  S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D

Nên  S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o

Dễ thấy ∆ S A C  vuông cân tại A

Suy ra SA = AC =  a 2

Lại có

  S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2

Do đó

  V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6

Ta có

  B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ  A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P

Suy ra  A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H

∆ S A P  vuông tại A có

1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH =  a 22 11

Đáp án A