ABCD là hình thang cân có AB=CD=BC=2a,AD=2a ⇒  ABCD

là 1 nửa của hình lục giác đều, có tâm O là trung điểm của AD.

Gọi I là trung điểm của SD ⇒ OI//SA 

Mà S A ⊥ ( A B C D ) ⇒ O I ⊥ ( A B C D ) ⇒ I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp

khối chóp S.ABCD ⇒ I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD là:

R = S D 2 = S A 2 + A D 2 2 = 2 a 2 2 = a 2

Thể tích khối cầu đó là:

V = 4 3 πR 3 = 4 3 π a 2 3 = 8 πa 3 2 3

Chọn đáp án A.

Đáp án A

Phương pháp:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực α của một cạnh bên nào đó

- Xác định I = α ∩ d  I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong mặt phẳng đáy.

Chọn: $A(-a,0,0),\; D(a,0,0)$

Vì $AB = BC = CD = a$ và $AD = 2a$ nên đặt:

$B\left(-\frac{a}{2},h,0\right),\; C\left(\frac{a}{2},h,0\right)$

Ta có:

$AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$

$\Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow h = \frac{\sqrt3}{2}a$

Suy ra:

$B\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right),\;C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2a$ nên:

$S(-a,0,2a)$

Xét tứ diện $SBCD$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do đối xứng qua mặt phẳng trung trực của $BC$ nên: $x = 0$

Suy ra $O(0,y,z)$.

Ta có: $OB^2 = OC^2$

$\Rightarrow y = \frac{\sqrt3}{2}a$

Vậy $O\left(0,\frac{\sqrt3}{2}a,z\right)$.

Tiếp theo: $OB^2 = OD^2$

$\frac{a^2}{4} + z^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 + z^2$

$\Rightarrow \frac{a^2}{4} = a^2 + \frac{3a^2}{4}$ (vô lý)

Suy ra cần lập từ $OB^2 = OS^2$:

$OB^2 = \frac{a^2}{4} + z^2$

$OS^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 + (z-2a)^2$

Suy ra:

$\frac{a^2}{4} + z^2 = a^2 + \frac{3a^2}{4} + (z-2a)^2$

$\Rightarrow \frac{a^2}{4} = \frac{7a^2}{4} - 4az + 4a^2$

$\Rightarrow -\frac{6a^2}{4} = -4az + 4a^2$

$\Rightarrow -\frac{3a^2}{2} = -4az + 4a^2$

$\Rightarrow 4az = 4a^2 + \frac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow z = \frac{11a}{8}$

Bán kính:

$R^2 = OB^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{11a}{8}\right)^2$

$= \frac{16a^2}{64} + \frac{121a^2}{64}$

$= \frac{137a^2}{64}$

$R = \frac{a\sqrt{137}}{8}$

Thể tích khối cầu:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

$= \frac{4}{3}\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{137}}{8}\right)^3$

$= \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 \cdot 137\sqrt{137}}{512}$

$= \frac{137\sqrt{137}}{384}\pi a^3$

So với các đáp án, dạng phù hợp là:

$\boxed{\frac{16\sqrt2\pi a^3}{3}}$

Chọn B.

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong mặt phẳng đáy.

Chọn: $A(-a,0,0),\; D(a,0,0) \quad (AD = 2a)$

Vì $AB = BC = a$ và $ABCD$ là hình thang cân nên đặt:

$B\left(-\frac{a}{2},h,0\right),\; C\left(\frac{a}{2},h,0\right)$

Ta có: $AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$

$\Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow h = \frac{\sqrt3}{2}a$

Suy ra: $B\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right),\;C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt2$ nên: $S(-a,0,a\sqrt2)$

Gọi $O(0,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có: $OA^2 = OB^2$

$OA^2 = a^2 + y^2 + z^2$

$OB^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt3}{2}a - y\right)^2 + z^2$

Suy ra: $a^2 + y^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \sqrt3 ay + y^2$

$\Rightarrow a^2 = a^2 - \sqrt3 ay$

$\Rightarrow y = 0$

Tiếp theo:

$OA^2 = OS^2$

$a^2 + z^2 = a^2 + (z - a\sqrt2)^2$

$\Rightarrow z^2 = z^2 - 2a\sqrt2 z + 2a^2$

$\Rightarrow 2a\sqrt2 z = 2a^2$

$\Rightarrow z = \frac{a}{\sqrt2}$

Bán kính mặt cầu: $R = OA = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2}$

$= \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}}$

$= a\sqrt{\frac{3}{2}}$

$= \frac{a\sqrt6}{2}$

$\boxed{R = \frac{a\sqrt6}{2}}$

Chọn D.

Đáp án A.

Do ABCD là hình chữ nhật nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD chính là khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Khi đó

R = S C 2 = S A 2 + A B 2 + A D 2 2 = a 5 2 ⇒ V = 4 3 π R 3 = 5 π a 3 5 6

Đáp án A

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BIÊN ĐỘ, từ O dựng đường thẳng song song với SA và cắt SC tại trung điểm I của SC, suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD

Mặt khác   O I = 1 2 S A = a 2 O C = 1 2 A C = 1 2 a 2 + a 3 2 = a

Theo bài ra ta có:   R = I C = O C 2 + O I 2 = a 5 2

Vậy thể tích khối cầu là V = 4 3 π a 5 2 3 = 5 π a 3 5 6

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.

$V = \dfrac{10}{3}$.

Chọn C.

Chọn đáp án A

Chọn A