Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (α) với cạnh SC. Ta có: (α) ⊥ SC, AI ⊂ (α) ⇒ SC ⊥ AI. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI ⊂ (α), nên K là giao điểm của SO với (α).
b) Ta có 
⇒ BD ⊥ SC
Mặt khác BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).
Vì BD ⊥ SC và (α) ⊥ SC nhưng BD không chứa trong (α) nên BD // (α)
Ta có K = SO ∩ (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD).
Mặt phẳng (SBD) chứa BD // (α) nên cắt theo giao tuyến d // BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
a) Tìm $K = SO \cap (\alpha)$
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ và vuông góc $SC$ ⇒ $SC \perp (\alpha)$.
⇒ $I = SC \cap (\alpha)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.
Đường thẳng $SO$ cắt $(\alpha)$ tại $K$ ⇒ $K$ là hình chiếu của $O$ lên $(\alpha)$ theo phương song song $SC$.
Kết luận: $K$ là giao điểm của $SO$ với đường thẳng đi qua $O$ song song $SC$.
b) Chứng minh $(SBD) \perp (SAC)$ và $BD \parallel (\alpha)$
Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{BD} = (-a,a,0)$
⇒ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2 + a^2 = 0$ ⇒ $AC \perp BD$.
Mặt khác: $SA \perp (ABCD)$ ⇒ $SA \perp AC,\ SA \perp BD$.
⇒ $BD \perp (SAC)$ ⇒ $(SBD) \perp (SAC)$.
Vì $(\alpha) \perp SC$ và $(SAC)$ chứa $SC$ ⇒ $(\alpha) \perp (SAC)$.
Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc $(SAC)$ ⇒ giao tuyến của chúng song song với $BD$.
⇒ $BD \parallel (\alpha)$.
c) Tìm giao tuyến và thiết diện
Giao tuyến:
$d = (SBD) \cap (\alpha)$.
Từ trên: $d \parallel BD$.
$d$ đi qua điểm $K$ ⇒ $d$ là đường thẳng qua $K$ và song song $BD$.
Thiết diện:
$(\alpha)$ cắt:
- $SC$ tại $I$
- $SD$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)
- $SB$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)
Do đó thiết diện là tam giác tạo bởi các giao điểm trên.
Vì $d \parallel BD$ nên thiết diện là tam giác có một cạnh song song $BD$.
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\) \(\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=a\) ; \(AM=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a}{2}\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)
\(\Rightarrow SA=AC.tan45^0=2a\)
\(AB^2=a^2\) ; \(AM.AC=\dfrac{a}{2}.2a=a^2\Rightarrow AB^2=AM.AC\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{ABC}=90^0\Rightarrow BM\perp AC\)
Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BM\)
\(\Rightarrow BM\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBM\right)\perp\left(SAC\right)\)
a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)
=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o
=> Tam giác ABD đều.
Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.
* Gọi H là tâm của tam giác ABD
=>SH ⊥ (ABD)
*Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, tức là tâm $O$ của hình chữ nhật.
⇒ $O\left(\dfrac{a}{2},a,0\right)$, đặt $S\left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.
Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$:
$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right)$.
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|(\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}))|}{|\vec{AB} \times \vec{SD}|}$
với $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.
Tính: $\vec{AB} \times \vec{SD} = (a,0,0) \times \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right) = (0,ah,a^2)$.
$\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}) = \dfrac{a}{2}\cdot 0 + a\cdot ah + h\cdot a^2 = a^2h + a^2h = 2a^2h$.
$|\vec{AB} \times \vec{SD}| = \sqrt{(ah)^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$.
Suy ra: $d = \dfrac{2a^2h}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.
Theo đề:
$\dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}} = a\sqrt{3}$
⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \sqrt{3}$
Giải ra: $\dfrac{4h^2}{h^2 + a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3h^2 + 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2$
⇒ $h = a\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO$
$S_{ABCD} = 2a^2,\quad SO = h = a\sqrt{3}$
Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\\\left( {SAC} \right):AC \bot SO = \left\{ O \right\}\\\left( {SBD} \right):BD \bot SO = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,BD} \right) = \widehat {AOB}\)
+) Nếu \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BD\)
Mà ABCD là hình chữ nhật nên ABCD là hình vuông.
+) Nếu ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)