Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:
$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.
Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.
Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.
Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.
Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.
Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Trung điểm: $M\left(0,a,0\right),\quad N\left(\dfrac{a}{2},2a,0\right)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.DMN$.
Do $D,M,N$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $O$ có dạng:
$O(x,y,z)$ với $z$ đối xứng.
Tính các khoảng cách bằng nhau:
$OD^2 = OM^2 = ON^2 = OS^2$.
Giải hệ thu được: $O\left(\dfrac{a}{2},a,\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)$.
Suy ra bán kính:
$R = OS = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2 + (0-a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}-\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{3}}= \dfrac{2a}{\sqrt3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a}{\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Trung điểm: $M\left(0,a,0\right),\quad N\left(\dfrac{a}{2},2a,0\right)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.DMN$.
Do $D,M,N$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $O$ có dạng: $O(x,y,z)$.
Ta có: $OD^2 = OM^2 = ON^2 = OS^2$.
Giải hệ:
$\begin{cases}OD^2 = OM^2 \\OM^2 = ON^2 \\OD^2 = OS^2\end{cases}\Rightarrow O\left(\dfrac{a}{2},a,\dfrac{a\sqrt3}{6}\right).$
Suy ra bán kính:
$R = OS= \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2 + (0-a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}-\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{3}}= \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là:
$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.
Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:
$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.
Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{12} = \dfrac{8a^2}{12} = \dfrac{2a^2}{3}$.
$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3\sqrt3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$.
Vậy $V = \dfrac{\pi a^3\sqrt6}{27}$.
Chọn đáp án C
Gọi O là trung điểm AB.
Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc (ABCD) nên
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Chọn a = 2.
Khi đó: 
Ta có mặt phẳng (ABCD) có vecto pháp tuyến là 
Mặt phẳng (GMN) có vecto pháp tuyến là 
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
Ta có mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến là 
, mặt phẳng (GMN) có vectơ pháp tuyến là 
Gọi (α) là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD), ta có
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M và N lên (ABCD). Suy ra E, F lần lượt là trung điểm của HC, HD.
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Mà d ⊥ (SIH) nên góc giữa góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD) là 
Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$, $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Xét tam giác vuông $OM A$:
$OA = OB = OC = OD$ nên: $OM^2 + AM^2 = R^2$.
Mặt khác: $OS = OM + SM$ và $OS = R$.
Giải hệ: $\begin{cases}R^2 = OM^2 + \dfrac{a^2}{4} \\R = OM + \dfrac{\sqrt3}{2}a\end{cases}$
Suy ra: $OM = \dfrac{a\sqrt3}{6}, \quad R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Diện tích mặt cầu:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9} = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.
Vậy diện tích mặt cầu là: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.
