Chọn D

Đáp án C

+ Trong  S A B    dựng   A I ⊥ S B ta chứng minh được  A I ⊥ S B C    1   .

Trong S A D  dựng A J ⊥ S D  ta chứng minh được A J ⊥ S C D 2 .

Từ (1) và (2)  ⇒ S B C , S C D ^ = A I , A J ^ = I A J ^

+ Ta chứng minh được A I = A J . Do đó, nếu góc I A J ^ = 60 °  thì Δ A I J  đều ⇒ A I = A J = I J .

  Δ S A B vuông tại A có AI là đường cao ⇒ A I . S B = S A . A B ⇒ A I = S A . A B S B 3

Và có S A 2 = S I . S B ⇒ S I = S A 2 S B 4

Ta chứng minh được  I J // B D ⇒ I J B D = S I S B ⇒ I J = S I . B D S B = 4 S A 2 . B D 2 S B 2 5   .

Thế (3)&(5) vào A I = I J ⇒ A B = S A . B D S B ⇔ A B . S B = S A . B D .

⇔ a . x 2 + a 2 = x . a 2 ⇔ x 2 + a 2 = 2 x 2 ⇔ x = a

Đáp án B

Đáp án B

Chọn đáp án C.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì  B D ⊥ S A O

Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{2})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

- Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a\sqrt{2})$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a\sqrt{2})$

Hình chiếu $M$ thỏa $\vec{SM} \parallel \vec{SB}$ theo tỉ lệ $t$: $\vec{SM} = t \vec{SB} \Rightarrow t(a,0,-a\sqrt{2}) = (x-0, y-0, z - a\sqrt{2})$

$z - a\sqrt{2} = -a\sqrt{2} t \Rightarrow z = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t$

Đồng thời $x = at$, $y=0$ và $z=0$ (vì $M$ là hình chiếu của $A$ nên $z=0$) $\Rightarrow 0 = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t \Rightarrow t = 1$

Vậy $M = (a,0,0)$

- Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a\sqrt{2})$, $\vec{SN} = s \vec{SD}$

$z = a\sqrt{2} + (-a\sqrt{2})s = 0 \Rightarrow s=1$

$N = S + SD = (0,0, a\sqrt{2}) + (0,a,-a\sqrt{2}) = (0,a,0)$

Vậy $M = (a,0,0),\ N = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AMN)$: đi qua $A(0,0,0), M(a,0,0), N(0,a,0)$

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SB$:

$\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{2})$

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}||\vec{n}|} = \dfrac{|a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{2}) \cdot a^2|}{\sqrt{a^2 + 0 + 2a^2} \cdot a^2} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Vậy góc: $\theta = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.26^\circ \approx 45^\circ$

Chọn A. $45^\circ$