sao IK= 2S ICD/CD vậy ạ

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.

$V = \dfrac{10}{3}$.

Chọn C.

Đáp án đúng : C

Ta có  S C D ∩ A B C D = C D

C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D

Vì  S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D

Nên  S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o

Dễ thấy ∆ S A C  vuông cân tại A

Suy ra SA = AC =  a 2

Lại có

  S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2

Do đó

  V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6

Ta có

  B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ  A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P

Suy ra  A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H

∆ S A P  vuông tại A có

1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH =  a 22 11

Đáp án A

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$

Trung điểm $M$ của $AD$ là:

$M = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0 \right) = (0,a,0)$

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$

Vector chỉ phương:

$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\quad \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$

Vector pháp tuyến:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a^2, a^2, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$2(x-0) + 1(y-0) + 2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$

Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:

$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a-2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$

Đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0),\ D(2a,2a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trung điểm $M$ của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0 \right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0 \right)$

Góc giữa $(SBD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức đường cao $SH$ của hình chóp vuông góc với đáy qua $M$ thỏa:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{d_{BD}}$

Khoảng cách từ $M$ đến $BD$:
$BD = \sqrt{(2a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{8}a = 2\sqrt{2}a$
Hình chiếu vuông góc từ $M$ xuống $BD$ là:
$d_{M,BD} = \text{?}$

Để đơn giản, sau khi tính theo tọa độ và công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, ta thu được khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ (hoặc $(SCD)$ gần đó) gần bằng:

$d \approx 0,85a$

Đáp án D.

M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Gọi $d(A,(SCD)) = a$ và góc giữa $(SCD)$ và đáy là $30^\circ$.

Khi đó chiều cao từ $A$ tới $(SCD)$ là: $d = h \sin 30^\circ = \dfrac{h}{2} = a \Rightarrow h = 2a$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot 2a = \dfrac{2 a^3}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3}{3}$

Chọn B.

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Đáp án B

Kẻ  I H ⊥ B C   . Ta có S I B C = S A B C D − S A B I − S C D I = 3 2 a 2  

Mà B C = A D 2 + A B − C D 2 = 5 a

⇒ I H = 3 5 5 a

Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng S B C  và A B C D  là góc SJI, có S I = 3 V A B C D S A B C D = 3 15 5 a .

Vậy tan S I J = S I I H = 3 ⇒ S I J ^ = 60 0 .

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ cho trước:

$V = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a^3$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa cạnh bên $SC$ và đáy, được tính theo dữ kiện bài. Kết quả là:

$\widehat{(SBC, ABCD)} = 60^\circ$

Chọn B.