a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án A

ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.

SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD

Gọi hình thang cân $ABCD$ có đáy $AD = 2a$, $AB = BC = CD = a$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S$ nằm thẳng đứng trên mặt đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp.

Xét các đỉnh: đỉnh cao $S$ và các đỉnh đáy. Đường chéo dài nhất từ $S$ đến một đỉnh đáy xa nhất. Giả sử $S$ trên đường thẳng đi qua trung điểm $AD$.

Chiều dài đường chéo lớn nhất: $SC$ (vì $C$ nằm xa $S$ nhất trong mặt đáy).

- Đặt hệ trục: $A(-a,0,0), D(a,0,0), B(-\frac{a}{2},h,0), C(\frac{a}{2},h,0)$, với $h$ là chiều cao của hình thang đáy.

- Tính $h$: $AB = BC = a$, $AD = 2a$, hình thang cân ⇒ $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a - a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tọa độ $S$ trên trục vuông góc: $S(0,0,2a)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Khoảng cách $SC = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2a)^2 }

= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2 } = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\dfrac{a \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \dfrac{5 a^2}{4} = 5 \pi a^2$

a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

- Xác định góc \(\beta\) giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) :

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AO\\BD\perp SO\left(BD\perp\left(SAC\right)\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\overline{\left(SBD\right),\left(ABCD\right)}\right]=\widehat{SOA}=\beta\)

- Tính góc \(\beta\) :

Trong tam giác vuông SOA, ta có :

\(\tan\beta=\dfrac{SA}{OA}=2\Rightarrow\beta=arc\tan2\)

s B A D C O M

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là AO nên góc giữa SA và (ABCD) là \(\widehat{SAO}\)

Xét \(\Delta SAO\left(\perp O\right)\) ta có : \(SA=\frac{a\sqrt{5}}{2};AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\)

\(\cos\widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)

c. Xét \(\Delta SOC\) có : \(\begin{cases}SO\perp BD\\OC\perp BD\end{cases}\) nên \(\left(SOC\right)\perp BD\) mà \(OM\subset\left(SOC\right)\Rightarrow OM\perp BD\)

xét : \(\left(MBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD\)

Trong (MBD) có \(OM\perp BD\)

Trong (ABCD) có \(OC\perp BD\)

Vậy góc giữa (MBD) và (ABCD) là \(\widehat{MOC}\)

Ta có : \(\Delta SAC\) đồng dạng với \(\Delta MOC\) (vì \(CM=\frac{1}{2}CS;CO=\frac{1}{2}CA\))nên \(\widehat{MOC}=\widehat{SAC}\)