a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

ĐÁP ÁN C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $H \in AB$ sao cho $HB = 2HA \Rightarrow HA = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $H\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{3}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Trung điểm $K$ của $HC$:

$K\left(\dfrac{\frac{a}{3} + a}{2}, \dfrac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right),\quad \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{3}, a, -h\right)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x - \dfrac{a}{3}) + ah(y - 0) + a^2(z - h) = 0 \Rightarrow h y + a(z - h) = 0$

$\Rightarrow hy + az - ah = 0$

Khoảng cách từ $K$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|h \cdot \dfrac{a}{2} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\left| \dfrac{ah}{2} - ah \right|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{ah}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$d = \dfrac{a \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{13/3}}{2 \cdot a\sqrt{16/3}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{8}$

a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).

Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).

Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:

\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)

Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:

\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)

Đáp số

\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)

\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)