Bạn vẽ hình giúp mình nha ^^

Xét (ABCD), kẻ \(MH\perp AB\left(H\in AB\right)\)

Xét (SAB), kẻ HF//SB(\(F\in SA\))

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH\perp AB\\MH\perp SA\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow MH\perp\left(SAB\right)\)\(\Rightarrow MH\perp HF\)

Ta có: \(\alpha=\left(\stackrel\frown{SB,AM}\right)=\left(\stackrel\frown{HF,MH}\right)=arccos\left(\dfrac{HA}{HF}\right)\)

Xét \(\Delta AHF\) vuông tại A có: \(HF^2=HA^2+AF^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}a^2\Rightarrow HF=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow\alpha=arccos\left(\dfrac{HA}{HF}\right)=arccos\left(\dfrac{2a}{a\sqrt{5}}\right)\approx26,57^o\) \(\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{HA}{HF}=\dfrac{2a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

là \(cos^{-1}\) trong máy tính á, đại loại kiểu ngược lại của cos... sin/cos/tan/sin sẽ đi với góc, còn arc + sin/cos/tan/cot là các cạnh ứng với công thức sin/cos/tan/cot

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$.

Theo đề: $\dfrac{1}{3} a^2 h = \dfrac{2a^3}{3} \Rightarrow h = 2a$.

Suy ra $S(0,0,2a)$.

Xét mặt phẳng $(SAD)$: $\vec{SA} = (0,0,2a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{AD} = (-2a^2,0,0)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-2a),\ \vec{SD} = (0,a,-2a)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2a^2,2a^2,a^2)$.

Tính: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = -4a^4 \Rightarrow |\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 4a^4$.

$|\vec{n_1}| = 2a^2,\quad |\vec{n_2}| = 3a^2$.

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{4a^4}{2a^2 \cdot 3a^2} = \dfrac{2}{3}$.

Đáp án: B. $\cos\alpha = \dfrac{2}{3}$

Chọn A

a) Gọi M' (x₁' ; y₁' ), N' (x₂' ; y₂ ) 

* M' là ảnh của M qua phép F, nên toạ độ M' thoả: 
{x₁' = x₁.cosα – y₁.sinα + a 
{y₁' = x₁.sinα + y₁.cosα + b 

* N' là ảnh của N qua phép F, nên toạ độ N' thoả: 
{x₂' = x₂.cosα – y₂.sinα + a 
{y₂' = x₂.sinα + y₂.cosα + b 

b) * Khoảng cách d giữa M và N là: 
d = MN = √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

* Khoảng cách d' giữa M' và N' là: 
d' = M'N' = √ [(x₂' - x₁' )² + (y₂' - y₁' )²] 

= √ {[x₂.cosα – y₂.sinα + a - (x₁.cosα – y₁.sinα + a)]² + [x₂.sinα + y₂.cosα + b - (x₁.sinα + y₁.cosα + b)]²} 

= √ {[cosα(x₂ - x₁) - sinα(y₂ - y₁)]² + [sinα(x₂ - x₁) + cosα(y₂ - y₁)]²} 

= √ [(x₂ - x₁)².(cos²α + sin²α) + (y₂ - y₁)².(cos²α + sin²α)] 

= √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

c) Phép F là phép dời hình vì: MN = M'N' = √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

d) Khi α = 0 ⇒ cosα = 1, sinα = 0 

Suy ra: 
{x' = x + a 
{y' = y + b 
Đây là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến. Vậy F là phép tịnh tiến

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$ nên đặt $S(0,0,a\sqrt{6})$.

Xét: $\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{6}),\ \vec{SA} = (0,0,a\sqrt{6}),\ \vec{AC} = (a,a,0)$.

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC} = (-a^2\sqrt{6},\ a^2\sqrt{6},\ 0)$.

Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\alpha$, ta có:
$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{SB} \cdot \vec{n} = a(-a^2\sqrt{6}) + 0 + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = -a^3\sqrt{6}$

⇒ $|\vec{SB} \cdot \vec{n}| = a^3\sqrt{6}$.

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 6a^2} = a\sqrt{7}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(-a^2\sqrt{6})^2 + (a^2\sqrt{6})^2} = a^2\sqrt{12} = 2a^2\sqrt{3}$.

Suy ra: $\sin\alpha = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{a\sqrt{7} \cdot 2a^2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{21}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.

Vậy: $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14}$.

Đáp án: A. $\dfrac{1}{\sqrt{14}}$

a: pi/2<a<pi

=>sin a>0

\(sina=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

\(sin\left(a+\dfrac{pi}{6}\right)=sina\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)+sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\cdot cosa\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2}\cdot-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2\sqrt{3}}\)

b: \(cos\left(a+\dfrac{pi}{6}\right)=cosa\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)-sina\cdot sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\)

c: \(sin\left(a-\dfrac{pi}{3}\right)\)

\(=sina\cdot cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)-cosa\cdot sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)

d: \(cos\left(a-\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=cosa\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)+sina\cdot sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\)

Chọn gốc tọa độ trùng với điểm A(0;0;0);

Tia AB nằm trên trục Ox.

Tia AD nằm trên trục Oy.

Tia Az (chứa SA) nằm trên trục Oz.

SA=2

=>S(0;0;2)

AB=1

=>B(1;0;0)

AD=3

=>D(0;3;0)

ABCD là hình bình hành

=>BC=AD=3

=>C(1;3;0)

Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+1}{2}=\frac22=1\\ y=\frac{0+3}{2}=\frac32=1,5\\ z=\frac{0+0}{2}=0\end{cases}\)

=>M(1;1,5;0)

S(0;0;2); A(0;0;0); M(1;1,5;0)

\(\overrightarrow{SA}=\left(0-0;0-0;0-2\right)=\left(0;0;-2\right)\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(1-0;1,5-0;0-0\right)=\left(1;1,5;0\right)\)

\(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AM}=0\cdot1+0\cdot1,5+2\cdot0=0\)

=>\(cos\left(SA;AM\right)=0\)

b: S(0;0;2); C(1;3;0); A(0;0;0); D(0;3;0)

\(\overrightarrow{SC}=\left(1-0;3-0;0-2\right)=\left(1;3;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{AD}=\left(0-0;3-0;0-0\right)=\left(0;3;0\right)\)

\(SC=\sqrt{1^2+3^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) ; \(AD=\sqrt{0^2+3^2+0^2}=3\)

\(cos\left(SC;AD\right)=\frac{\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{AD}}{SC\cdot AD}=\frac{1\cdot0+3\cdot3+\left(-2\right)\cdot0}{\sqrt{14}\cdot3}=\frac{9}{3\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}\)

c: S(0;0;2); B(1;0;0); A(0;0;0); C(1;3;0)

\(\overrightarrow{SB}=\left(1-0;0-0;0-2\right)=\left(1;0;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(1-0;3-0;0-0\right)=\left(1;3;0\right)\)

\(SB=\sqrt{1^2+0^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt5;AC=\sqrt{1^2+3^2+0^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\)

cos(SB;AC)=\(\frac{\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{SB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}\)

\(\frac{1\cdot1+0\cdot3+\left(-2\right)\cdot0}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{10}\)

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$ nên đặt $S(0,0,a\sqrt{3})$.

Xét: $\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{3}),\ \vec{SA} = (0,0,a\sqrt{3}),\ \vec{AC} = (a,a,0)$.

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC} = (-a^2\sqrt{3},\ a^2\sqrt{3},\ 0)$.

Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\alpha$, ta có:
$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{n}|}$.

Tính:

$\vec{SB} \cdot \vec{n} = a(-a^2\sqrt{3}) = -a^3\sqrt{3} \Rightarrow |\cdot| = a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^4 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$.

Suy ra: $\sin\alpha = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a \cdot a^2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy: $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

Đáp án: C. $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$