Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C.
Do:
S C ; A B C ^ = 60 0 ⇒ S C A ^ = 60 0 ⇒ S A = A C tan 60 0 = a 6
Ta có: Δ S A C vuông tại A có đường cao AH.
Khi đó:
S A 2 = S H . S C ⇒ S A 2 S C 2 = S H S C = 6 a 2 6 a 2 + 2 a 2 = 3 4 ⇒ H C S C = 1 4 .
Do đó:
d H ; A B C D = 1 4 d C ; A B C D ⇒ V H . A B C D = 3 4 V S . A B C D = 1 4 . 1 3 . a 6 . 3 a 2 2 = a 2 6 8 .
Đáp án C
Xác định góc S C ; A B C D ⏜ = S C ; A C ⏜ = S A C ⏜ = 60 °
Tam giác SAC vuông tại A, có S A = tan 60 ° . A C = a 6 H C = cos 60 ° . A C = a 2 2
⇒ d H ; A B C D d S ; A B C D = H C S C = a 2 2 : 2 a 2 = 1 4 ⇒ d H ; A B C D = a 6 4
Vậy thể tích khối chóp H.ABCD là
V H . A B C D = 1 3 d H ; A B C D . S A B C D = 1 3 . a 6 4 . 3 a 2 2 = a 3 6 8
Chọn đáp án C
Ta có
⇒ A C là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
Lại có ABCD là hình vuông cạnh a nên A C = a 2
Tam giác SAC vuông tại A nên S A = A C . tan S C A ⏜ = a 6
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V A B C D = a 3 6 3 (đvtt).
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.
Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Đường chéo $BD$:
$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.
Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.
$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$
Đáp án C
Ta có: H C = B H 2 + B C 2 = a 2
S H = H C . tan S C H = a 2 . tan 60 ∘ = a 6 A C = B A 2 + B C 2 = a 5 , S B = S H 2 + H B 2 = a 7
Ta có: S B → . A C → = S H → + H B → . A C → = H B . A C . cos B A C
⇔ S B → . A C → = H B . A C . A B A C = 2 a 2 S B . A C = a 7 . a 5 = a 2 35 ⇒ c os S B , A C = S B → . A C → S B . A C = 2 a 2 a 2 35 ⇒ S B , A C = 70 o 14 ' 28 , 22 ' '
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.
Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Đường chéo $BD$:
$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.
Giải ra $h$:
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.
Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.
Chọn đáp án C.