Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)
Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)
Vậy d(A,(SCD))=AH
Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
.jpg)
E=AB∩CD,G=EN∩SB⇒GE=AB∩CD,G=EN∩SB⇒G là trọng tâm tam giác SAE.
d(M,(NCD))=GMGBd(B,(NCD))=12d(B,(NCD))=12.12d(A,(NCD))=14d(A,(NCD))=
S A B C D H O M N P Q K E I
a/
Ta có
\(CB\perp AB\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CB\)
\(\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\) => CB=a là khoảng cách từ C đến mp (SAB)
b/
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại H
Ta có
\(CD\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AH\)
Mà \(AH\perp SD\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\) => AH là khoảng cách từ A đến mp (SCD)
Xét tg vuông SAD có
\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\) (Pitago)
Ta có
\(AD^2=DH.SD\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow DH=\dfrac{AD^2}{SD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tg vuông ADH có
\(AH=\sqrt{AD^2-DH^2}\) (Pitago)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
c/ Trong mp (ABCD) Qua O dựng đường thẳng //CD cắt AD tại M và BC tại N => MN//CD (1)
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng // AH cắt SD tại Q => MQ // AH
TRong mp (SCD) qua Q dựng đường thẳng //CD cắt SC tại P => QP // CD (2)
Từ (1) và (2) => MN // PQ => M; N; P; Q cùng thuộc 1 mặt phẳng
=> PQ là giao tuyến của mp (MNQP) với mp (SCD)
Trong mp (MNQP) qua O dựng đường thẳng // với MQ cắt QP tại K
Ta có
MQ//AH; OH// MQ => OK//AH
Mà \(AH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OK\perp\left(SCD\right)\) => OK là khoảng cách từ O đến mp (SCD)
Xét tứ giác MQKO có
MQ//OK; QP//MN => MQKO là hình bình hành => OK = MQ
Xét tg ACD có
OA=OC (t/c đường chéo hình vuông)
MO//CD
=> MA=MD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
Xét tg ADH có
MA=MD (cmt); MQ//AH => QD = QH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
=> MQ là đường trung bình của tg ADH
\(\Rightarrow OK=MQ=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
d/
Trong mp (SCD) qua H dựng đường thẳng //CD cắt SC tại E => HE//CD
Ta có
AB // CD (Hai cạnh đối hình vuông)
HE // CD
=> AB//HE => A; B; H; E cùng thuộc một mặt phẳng
Trong mp (AHEB) qua e Dựng đường thẳng // AH cắt AB tại I
Ta có
AH//IE; AB//HE => AHEB là hình bình hành => IE=AH
Ta có
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\)
\(AB\perp AD\) (ABCD là hình vuông)
=> \(AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AH\)
Mà AH//IE
\(\Rightarrow AB\perp IE\) (1)
Ta có
\(AH\perp\left(SCD\right)\) (cmt); mà AH//IE \(\Rightarrow IE\perp\left(SCD\right)\Rightarrow IE\perp SC\) (2)
Từ (1) và (2) => IE là khoảng cách giữa AB và SC
\(\Rightarrow IE=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Đáp án D
Gọi H, I , theo thứ tự là trung điểm AD,BC
G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều
SAD nên G cũng là trọng tâm tam giác SAD.
+ Xác định góc của SC với (SAD).
Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .
∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).
Trong ΔCSE, ta có:
S E = C E . tan 60 o = a 3 ⇒ S A = S E 2 - A E 2 = 3 a 2 - a 2 = a 2 .
Nhận xét
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.
Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra
d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).
Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))
+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).
Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.
CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).
Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)
Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$
Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$
Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$
Xác định diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
Đáp án B.
Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử
$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Vector $\vec{AC} = C-A = (a,2a,0)$ và vector $\vec{SB} = B-S = \left(a - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$.
Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:
Vector pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$, với $C=(a,2a,0)$, $S=(\dfrac{a}{2},0,h)$:
$\overrightarrow{SC} = C-S = \left(a-\dfrac{a}{2}, 2a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2},2a,-h\right)$
$\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\dfrac{a}{2} & 0 & -h \\\dfrac{a}{2} & 2a & -h\end{vmatrix} = (2ah, 0, a^2)$
Khoảng cách từ $D(0,2a,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \overrightarrow{SD} |}{|\vec{n}|} = 2a\sqrt{3} \Rightarrow h = a\sqrt{3}$
Vậy $S = \left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$:
$d = \dfrac{| (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} |}{|\vec{AC} \times \vec{SB}|}$
Tính vector:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 2a & 0 \\\dfrac{a}{2} & 0 & -a\sqrt{3}\end{vmatrix} = (-4a^2\sqrt{3})\mathbf{i} + (a^2 \sqrt{3})\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$
$\overrightarrow{SA} = A-S = \left(-\dfrac{a}{2},0,-a\sqrt{3}\right)$
Tích vô hướng:
$(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} = (-4a^2\sqrt{3}) \cdot (-\dfrac{a}{2}) + (a^2 \sqrt{3}) \cdot 0 + (-a^2) \cdot (-a\sqrt{3}) = 3a^3\sqrt{3}$
Độ dài tích có hướng:
$|\vec{AC} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-4a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{52a^4} = 2a^2\sqrt{13}$
Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $AC$:
$d = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2a^2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
Đáp án: $d = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
S A B C D H O K I L T
a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB
=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).
b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)
=> (SC,SAB) = ^CAB
\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)
\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 300.
c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.
BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC
=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).
Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD
=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD //BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = a√3.
Như vậy
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)
Vậy AH = d(A,(SCD))
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:
Vậy A H 2 = 2 a 2 ⇒ A H = a 2
Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B, (SCD)) = d(I,(SCD)).
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên
Do đó:
b) Vì AD // BC nên AD // (SBC), do đó d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC))
Dựng AD ⊥ BC tại E ⇒ BC ⊥ (SAE)
Dựng AD ⊥ SE tại F ta có:
Vậy AF = d(A,(SBC)) = d(AD, (SBC))
Xét tam giác vuông AEB ta có:
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$ và đường chéo $AD$ nằm trên trục $x$.
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD=2a$, ta có:
$B(a, a\sqrt{3},0),\ C(2a, a\sqrt{3},0)$ (theo hình học hạ chiều cao từ tam giác đều).
Đỉnh $S$ vuông góc với đáy tại $SA$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$, nên:
$S = (0,0,a\sqrt{6})$.
a) Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$:
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$
$\vec{SD} = D-S = (2a,0,-a\sqrt{6})$
$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & 0 & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} =(-a^2 3\sqrt{3})\mathbf{i} + (0)\mathbf{j} + (-2a^2 \sqrt{18})\mathbf{k} = (-3a^2\sqrt{3},0,-6a^2)$
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{SP} = 0 \Rightarrow -3a^2\sqrt{3}(x-0) + 0 + (-6a^2)(z - a\sqrt{6}) = 0$
$\Rightarrow 3\sqrt{3}x + 6(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - a\sqrt{6} = 0$
Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:
$d_A = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 - a\sqrt{6}|}{\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0 + 1^2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{3}{4} + 1}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
Khoảng cách từ $B(a,a\sqrt{3},0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:
$d_B = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}a - a\sqrt{6}|}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{| \dfrac{a\sqrt{3}}{2} - a\sqrt{6}|}{\sqrt{7/4}} = \dfrac{|a(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6})|}{\sqrt{7}/2} = \dfrac{2a|\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6}|}{\sqrt{7}}$
b) Khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $(SBC)$:
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = B-S = (a,a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$
$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} = (0, -a^2\sqrt{6}, -a^2\sqrt{3})$
Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:
$0\cdot (x-0) - a^2\sqrt{6}(y-0) - a^2\sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow \sqrt{6} y + \sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \sqrt{2} y - a\sqrt{6} = 0$
Khoảng cách từ đường thẳng $AD$: Chọn điểm $A$ và vector $\vec{AD} = (2a,0,0)$
Khoảng cách $d = \dfrac{| \vec{AD} \times \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} |}{|\vec{n} \times \vec{AD}|}$
$\overrightarrow{AP} = S-A = (0,0,a\sqrt{6})$
$\vec{n} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & -\sqrt{6} & -\sqrt{3} \\2 & 0 & 0\end{vmatrix} = (0, -2\sqrt{3}, 2\sqrt{6}) \Rightarrow |\vec{n} \times \vec{AD}| = 2\sqrt{3 + 6} = 2\sqrt{9} = 6$
$(\overrightarrow{AP} \cdot (\vec{n} \times \vec{AD})) = (0,0,a\sqrt{6}) \cdot (0,-2\sqrt{3},2\sqrt{6}) = 2a\sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 12a$
Vậy khoảng cách: $d = \dfrac{12a}{6} = 2a$