Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(6a,0,0), D(0,6a,0), C(6a,6a,0)$
Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trọng tâm tam giác $ABD$:
$G = \dfrac{A + B + D}{3} = \dfrac{(0,0,0) + (6a,0,0) + (0,6a,0)}{3} = (2a, 2a, 0)$
Vậy hình chiếu $H$ của $S$ xuống đáy: $H = (2a, 2a, 0)$
Giả sử $S = (2a, 2a, h)$
Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SAD)$ là $d(G,(SAD)) = a$
Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $S, A, D$
Vector:
$\vec{SA} = A - S = (-2a, -2a, -h)$
$\vec{SD} = D - S = (-2a, 4a, -h)$
Phương trình mặt phẳng:
$|(X-S), \vec{SA}, \vec{SD}| = 0$ với $X=(x,y,z)$
$X-S = (x-2a, y-2a, z - h)$
Tính định thức ra phương trình mặt phẳng:
$z = h - \dfrac{y - 2a}{2}$ (tương tự bước tính trong các bài trước)
Đường thẳng $SD$: $S(2a,2a,h), D(0,6a,0)$
Đường thẳng $BC$: $B(6a,0,0), C(6a,6a,0)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:
$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SD} \times \vec{BC}|}$
Vector: $\vec{SD} = D - S = (-2a, 4a, -h), \quad \vec{BC} = C - B = (0,6a,0), \quad \vec{SB} = B - S = (4a, -2a, -h)$
Tính tích có hướng:
$\vec{SD} \times \vec{BC} = (0,0,12a^2)$
$\vec{SD} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = 12 a^2 \cdot (-h) = -12 a^2 h$
Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{BC}| = 12 a^2$
Vậy khoảng cách:
$d = \dfrac{| -12 a^2 h |}{12 a^2} = h$
Theo dữ kiện, $h = 2a$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ là: $d = 2a$
Gọi M là trung điểm của AD. Suy ra SM vuông góc mặt phẳng (ABCD).
a, Vì tam giác SAD là tam giác vuông cân
\(\Rightarrow SA=SD=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\)
\(\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\dfrac{1}{2}a\)
\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=SM.S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}a.a^2=\dfrac{1}{2}a^3\)
b, Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB cắt BC tại N. Dựng MH vuông góc với SN.
Dễ dàng nhận thấy BC vuông góc với (SMN) do \(SM\perp BC;MN\perp BC\)
\(\Rightarrow MH\perp BC\)
mà \(MH\perp SN\Rightarrow MH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow MH\perp SC\)
Hay MH chính là khoảng cách giữa AD và SC (Do cùng vuông góc)
Ta có: \(\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2}+\dfrac{1}{MN^2}\Rightarrow\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{5}{a^2}\Rightarrow MH=\dfrac{\sqrt{5}}{5}a\)
a: CD vuông góc AD
CD vuông góc SA
=>CD vuông góc (SAD)
b: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA
tan SDA=SA/AD=1/2
=>góc SDA=27 độ
a: CD vuông góc AD
CD vuông góc SA
=>CD vuông góc (SAD)
b: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA
tan SDA=SA/AD=1/2
=>góc SDA=27 độ
+ Xác định góc của SC với (SAD).
Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .
∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).
Trong ΔCSE, ta có:
S E = C E . tan 60 o = a 3 ⇒ S A = S E 2 - A E 2 = 3 a 2 - a 2 = a 2 .
Nhận xét
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.
Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra
d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).
Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))
+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).
Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.
CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).
Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)
Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$
Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$
Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$
Xác định diện tích đáy:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$
a) Gọi E là trung điểm của AD
\(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\)
Mà tam giác SAD đều
\( \Rightarrow \) \(SE \bot \left( {ABCD} \right)\)
Xét tam giác SDE vuông tại E có
\(SE = \sqrt {S{D^2} - D{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Ta có \(AB \bot AD,AB \bot SE\left( {SE \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\)
Vì BC // AD (ABCD là hình vuông), \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên BC // (SAD)
\( \Rightarrow \) d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a
c) Trong (SAD) kẻ \(AF \bot SD\)
Có \(AB \bot \left( {SAD} \right),AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AF\)
\( \Rightarrow \) d(AB, SD) = AF
Vì tam giác SAD đều nên \(AF = SE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(d\left( {AB,{\rm{ }}SD} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)